MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsfn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsfn2 16531
Description: Algebraicity of a two-argument closure condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn2 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝑎𝑐𝑎 𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑉   𝑋,𝑎,𝑏,𝑐   𝐸,𝑎
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑏,𝑐)

Proof of Theorem acsfn2
StepHypRef Expression
1 elpwi 4307 . . . . 5 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋𝑎𝑋)
2 ralss 3817 . . . . . 6 (𝑎𝑋 → (∀𝑏𝑎𝑐𝑎 𝐸𝑎 ↔ ∀𝑏𝑋 (𝑏𝑎 → ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎)))
3 ralss 3817 . . . . . . . 8 (𝑎𝑋 → (∀𝑐𝑎 (𝑏𝑎𝐸𝑎) ↔ ∀𝑐𝑋 (𝑐𝑎 → (𝑏𝑎𝐸𝑎))))
4 r19.21v 3109 . . . . . . . 8 (∀𝑐𝑎 (𝑏𝑎𝐸𝑎) ↔ (𝑏𝑎 → ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎))
5 impexp 437 . . . . . . . . . 10 (((𝑐𝑎𝑏𝑎) → 𝐸𝑎) ↔ (𝑐𝑎 → (𝑏𝑎𝐸𝑎)))
6 vex 3354 . . . . . . . . . . . 12 𝑐 ∈ V
7 vex 3354 . . . . . . . . . . . 12 𝑏 ∈ V
86, 7prss 4486 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐𝑎𝑏𝑎) ↔ {𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎)
98imbi1i 338 . . . . . . . . . 10 (((𝑐𝑎𝑏𝑎) → 𝐸𝑎) ↔ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎))
105, 9bitr3i 266 . . . . . . . . 9 ((𝑐𝑎 → (𝑏𝑎𝐸𝑎)) ↔ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎))
1110ralbii 3129 . . . . . . . 8 (∀𝑐𝑋 (𝑐𝑎 → (𝑏𝑎𝐸𝑎)) ↔ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎))
123, 4, 113bitr3g 302 . . . . . . 7 (𝑎𝑋 → ((𝑏𝑎 → ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎) ↔ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)))
1312ralbidv 3135 . . . . . 6 (𝑎𝑋 → (∀𝑏𝑋 (𝑏𝑎 → ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎) ↔ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)))
142, 13bitrd 268 . . . . 5 (𝑎𝑋 → (∀𝑏𝑎𝑐𝑎 𝐸𝑎 ↔ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)))
151, 14syl 17 . . . 4 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (∀𝑏𝑎𝑐𝑎 𝐸𝑎 ↔ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)))
1615rabbiia 3334 . . 3 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝑎𝑐𝑎 𝐸𝑎} = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}
17 riinrab 4730 . . 3 (𝒫 𝑋 𝑏𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}
1816, 17eqtr4i 2796 . 2 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝑎𝑐𝑎 𝐸𝑎} = (𝒫 𝑋 𝑏𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)})
19 mreacs 16526 . . . 4 (𝑋𝑉 → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
2019adantr 466 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 𝐸𝑋) → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
21 riinrab 4730 . . . . . . 7 (𝒫 𝑋 𝑐𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}
2219ad2antrr 705 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ ∀𝑐𝑋 𝐸𝑋) → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
23 simpll 750 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ (𝑐𝑋𝐸𝑋)) → 𝑋𝑉)
24 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ (𝑐𝑋𝐸𝑋)) → 𝐸𝑋)
25 prssi 4487 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐𝑋𝑏𝑋) → {𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑋)
2625ancoms 455 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏𝑋𝑐𝑋) → {𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑋)
2726ad2ant2lr 742 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ (𝑐𝑋𝐸𝑋)) → {𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑋)
28 prfi 8391 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑐, 𝑏} ∈ Fin
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ (𝑐𝑋𝐸𝑋)) → {𝑐, 𝑏} ∈ Fin)
30 acsfn 16527 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋𝑉𝐸𝑋) ∧ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑐, 𝑏} ∈ Fin)) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
3123, 24, 27, 29, 30syl22anc 1477 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ (𝑐𝑋𝐸𝑋)) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
3231expr 444 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ 𝑐𝑋) → (𝐸𝑋 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
3332ralimdva 3111 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑏𝑋) → (∀𝑐𝑋 𝐸𝑋 → ∀𝑐𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
3433imp 393 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ ∀𝑐𝑋 𝐸𝑋) → ∀𝑐𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
35 mreriincl 16466 . . . . . . . 8 (((ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋) ∧ ∀𝑐𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)) → (𝒫 𝑋 𝑐𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
3622, 34, 35syl2anc 573 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ ∀𝑐𝑋 𝐸𝑋) → (𝒫 𝑋 𝑐𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
3721, 36syl5eqelr 2855 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ ∀𝑐𝑋 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
3837ex 397 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑏𝑋) → (∀𝑐𝑋 𝐸𝑋 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
3938ralimdva 3111 . . . 4 (𝑋𝑉 → (∀𝑏𝑋𝑐𝑋 𝐸𝑋 → ∀𝑏𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
4039imp 393 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 𝐸𝑋) → ∀𝑏𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
41 mreriincl 16466 . . 3 (((ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋) ∧ ∀𝑏𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)) → (𝒫 𝑋 𝑏𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
4220, 40, 41syl2anc 573 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 𝐸𝑋) → (𝒫 𝑋 𝑏𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
4318, 42syl5eqel 2854 1 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝑎𝑐𝑎 𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wcel 2145  wral 3061  {crab 3065  cin 3722  wss 3723  𝒫 cpw 4297  {cpr 4318   ciin 4655  cfv 6031  Fincfn 8109  Moorecmre 16450  ACScacs 16453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-fin 8113  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457
This theorem is referenced by:  submacs  17573  submgmacs  42332
  Copyright terms: Public domain W3C validator