MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsfn1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsfn1 16528
Description: Algebraicity of a one-argument closure condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn1 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑋 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝑎 𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑉   𝑋,𝑎,𝑏   𝐸,𝑎
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑏)

Proof of Theorem acsfn1
StepHypRef Expression
1 elpwi 4305 . . . . . 6 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋𝑎𝑋)
2 ralss 3815 . . . . . 6 (𝑎𝑋 → (∀𝑏𝑎 𝐸𝑎 ↔ ∀𝑏𝑋 (𝑏𝑎𝐸𝑎)))
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (∀𝑏𝑎 𝐸𝑎 ↔ ∀𝑏𝑋 (𝑏𝑎𝐸𝑎)))
4 vex 3352 . . . . . . . 8 𝑏 ∈ V
54snss 4449 . . . . . . 7 (𝑏𝑎 ↔ {𝑏} ⊆ 𝑎)
65imbi1i 338 . . . . . 6 ((𝑏𝑎𝐸𝑎) ↔ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎))
76ralbii 3128 . . . . 5 (∀𝑏𝑋 (𝑏𝑎𝐸𝑎) ↔ ∀𝑏𝑋 ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎))
83, 7syl6bb 276 . . . 4 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (∀𝑏𝑎 𝐸𝑎 ↔ ∀𝑏𝑋 ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)))
98rabbiia 3333 . . 3 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝑎 𝐸𝑎} = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝑋 ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}
10 riinrab 4728 . . 3 (𝒫 𝑋 𝑏𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝑋 ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}
119, 10eqtr4i 2795 . 2 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝑎 𝐸𝑎} = (𝒫 𝑋 𝑏𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)})
12 mreacs 16525 . . . 4 (𝑋𝑉 → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
1312adantr 466 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑋 𝐸𝑋) → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
14 simpll 742 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ 𝐸𝑋) → 𝑋𝑉)
15 simpr 471 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ 𝐸𝑋) → 𝐸𝑋)
16 snssi 4472 . . . . . . . 8 (𝑏𝑋 → {𝑏} ⊆ 𝑋)
1716ad2antlr 698 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ 𝐸𝑋) → {𝑏} ⊆ 𝑋)
18 snfi 8193 . . . . . . . 8 {𝑏} ∈ Fin
1918a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ 𝐸𝑋) → {𝑏} ∈ Fin)
20 acsfn 16526 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝐸𝑋) ∧ ({𝑏} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑏} ∈ Fin)) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
2114, 15, 17, 19, 20syl22anc 1476 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
2221ex 397 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑏𝑋) → (𝐸𝑋 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
2322ralimdva 3110 . . . 4 (𝑋𝑉 → (∀𝑏𝑋 𝐸𝑋 → ∀𝑏𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
2423imp 393 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑋 𝐸𝑋) → ∀𝑏𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
25 mreriincl 16465 . . 3 (((ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋) ∧ ∀𝑏𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)) → (𝒫 𝑋 𝑏𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
2613, 24, 25syl2anc 565 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑋 𝐸𝑋) → (𝒫 𝑋 𝑏𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
2711, 26syl5eqel 2853 1 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑋 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝑎 𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wcel 2144  wral 3060  {crab 3064  cin 3720  wss 3721  𝒫 cpw 4295  {csn 4314   ciin 4653  cfv 6031  Fincfn 8108  Moorecmre 16449  ACScacs 16452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-om 7212  df-1o 7712  df-en 8109  df-fin 8112  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456
This theorem is referenced by:  acsfn1c  16529  subgacs  17836  sdrgacs  38290
  Copyright terms: Public domain W3C validator