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Theorem acsfiindd 17224
Description: In an algebraic closure system, a set is independent if and only if all its finite subsets are independent. Part of Proposition 4.1.3 in [FaureFrolicher] p. 83. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsfiindd.1 (𝜑𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
acsfiindd.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
acsfiindd.3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
acsfiindd.4 (𝜑𝑆𝑋)
Assertion
Ref Expression
acsfiindd (𝜑 → (𝑆𝐼 ↔ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼))

Proof of Theorem acsfiindd
Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsfiindd.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
21acsmred 16364 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
32ad2antrr 762 . . . . 5 (((𝜑𝑆𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
4 acsfiindd.2 . . . . 5 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
5 acsfiindd.3 . . . . 5 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
6 simplr 807 . . . . 5 (((𝜑𝑆𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝑆𝐼)
7 inss1 3866 . . . . . . 7 (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑆
8 simpr 476 . . . . . . 7 (((𝜑𝑆𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
97, 8sseldi 3634 . . . . . 6 (((𝜑𝑆𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝑆)
109elpwid 4203 . . . . 5 (((𝜑𝑆𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝑠𝑆)
113, 4, 5, 6, 10mrissmrid 16348 . . . 4 (((𝜑𝑆𝐼) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) → 𝑠𝐼)
1211ralrimiva 2995 . . 3 ((𝜑𝑆𝐼) → ∀𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑠𝐼)
13 dfss3 3625 . . 3 ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼 ↔ ∀𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑠𝐼)
1412, 13sylibr 224 . 2 ((𝜑𝑆𝐼) → (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼)
152adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
16 acsfiindd.4 . . . 4 (𝜑𝑆𝑋)
1716adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → 𝑆𝑋)
18 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin))
19 elfpw 8309 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) ↔ (𝑡 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}) ∧ 𝑡 ∈ Fin))
2018, 19sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → (𝑡 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}) ∧ 𝑡 ∈ Fin))
2120simpld 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → 𝑡 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}))
2221difss2d 3773 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → 𝑡𝑆)
23 simplr 807 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → 𝑥𝑆)
2423snssd 4372 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → {𝑥} ⊆ 𝑆)
2522, 24unssd 3822 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑆)
2620simprd 478 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → 𝑡 ∈ Fin)
27 snfi 8079 . . . . . . . . . . . 12 {𝑥} ∈ Fin
28 unfi 8268 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ∈ Fin ∧ {𝑥} ∈ Fin) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ∈ Fin)
2926, 27, 28sylancl 695 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ∈ Fin)
30 elfpw 8309 . . . . . . . . . . 11 ((𝑡 ∪ {𝑥}) ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ↔ ((𝑡 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑆 ∧ (𝑡 ∪ {𝑥}) ∈ Fin))
3125, 29, 30sylanbrc 699 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
322ad4antr 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠𝐼) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
33 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠𝐼) → 𝑠𝐼)
34 simpllr 815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑥𝑆)
35 snidg 4239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝑆𝑥 ∈ {𝑥})
36 elun2 3814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ {𝑥} → 𝑥 ∈ (𝑡 ∪ {𝑥}))
3734, 35, 363syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑥 ∈ (𝑡 ∪ {𝑥}))
38 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥}))
3937, 38eleqtrrd 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑥𝑠)
4039adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠𝐼) → 𝑥𝑠)
414, 5, 32, 33, 40ismri2dad 16344 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠𝐼) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))
422ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
4321adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑡 ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}))
44 neldifsnd 4355 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑥}))
4543, 44ssneldd 3639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → ¬ 𝑥𝑡)
46 difsnb 4369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝑡 ↔ (𝑡 ∖ {𝑥}) = 𝑡)
4745, 46sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑡 ∖ {𝑥}) = 𝑡)
48 ssun1 3809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑡 ⊆ (𝑡 ∪ {𝑥})
4948, 38syl5sseqr 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑡𝑠)
5049ssdifd 3779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑡 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑠 ∖ {𝑥}))
5147, 50eqsstr3d 3673 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑡 ⊆ (𝑠 ∖ {𝑥}))
5225adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑆)
5316ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑆𝑋)
5452, 53sstrd 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑡 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑋)
5538, 54eqsstrd 3672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → 𝑠𝑋)
5655ssdifssd 3781 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑠 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑋)
5742, 4, 51, 56mrcssd 16331 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑁𝑡) ⊆ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))
5857sseld 3635 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑥 ∈ (𝑁𝑡) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
5958adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠𝐼) → (𝑥 ∈ (𝑁𝑡) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
6041, 59mtod 189 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) ∧ 𝑠𝐼) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡))
6160ex 449 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) ∧ 𝑠 = (𝑡 ∪ {𝑥})) → (𝑠𝐼 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
6231, 61rspcimdv 3341 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → (∀𝑠 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑠𝐼 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
6313, 62syl5bi 232 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)) → ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
6463impancom 455 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → (𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
6564ralrimiv 2994 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → ∀𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡))
6616ssdifssd 3781 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑋)
671, 4, 66acsficl2d 17223 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ∃𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
6867notbid 307 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ ∃𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
69 ralnex 3021 . . . . . . . 8 (∀𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡) ↔ ¬ ∃𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁𝑡))
7068, 69syl6bbr 278 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
7170ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝒫 (𝑆 ∖ {𝑥}) ∩ Fin) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝑡)))
7265, 71mpbird 247 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
7372an32s 863 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥𝑆) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
7473ralrimiva 2995 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → ∀𝑥𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
754, 5, 15, 17, 74ismri2dd 16341 . 2 ((𝜑 ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼) → 𝑆𝐼)
7614, 75impbida 895 1 (𝜑 → (𝑆𝐼 ↔ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  wss 3607  𝒫 cpw 4191  {csn 4210  cfv 5926  Fincfn 7997  Moorecmre 16289  mrClscmrc 16290  mrIndcmri 16291  ACScacs 16292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ocomp 16010  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-mri 16295  df-acs 16296  df-preset 16975  df-drs 16976  df-poset 16993  df-ipo 17199
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