Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsficl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsficl 17379
 Description: A closure in an algebraic closure system is the union of the closures of finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acsdrscl.f 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
acsficl ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝐹𝑆) = (𝐹 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))

Proof of Theorem acsficl
Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6333 . . 3 (𝑠 = 𝑆 → (𝐹𝑠) = (𝐹𝑆))
2 pweq 4301 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 → 𝒫 𝑠 = 𝒫 𝑆)
32ineq1d 3964 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → (𝒫 𝑠 ∩ Fin) = (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
43imaeq2d 5606 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 → (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = (𝐹 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))
54unieqd 4585 . . 3 (𝑠 = 𝑆 (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = (𝐹 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))
61, 5eqeq12d 2786 . 2 (𝑠 = 𝑆 → ((𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ↔ (𝐹𝑆) = (𝐹 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))))
7 isacs3lem 17374 . . . . 5 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)))
8 acsdrscl.f . . . . . 6 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
98isacs4lem 17376 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))))
108isacs5lem 17377 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
117, 9, 103syl 18 . . . 4 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin))))
1211simprd 483 . . 3 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
1312adantr 466 . 2 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝐹𝑠) = (𝐹 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)))
14 elfvdm 6363 . . . 4 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ACS)
15 elpw2g 4959 . . . 4 (𝑋 ∈ dom ACS → (𝑆 ∈ 𝒫 𝑋𝑆𝑋))
1614, 15syl 17 . . 3 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝑋𝑆𝑋))
1716biimpar 463 . 2 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝑋)
186, 13, 17rspcdva 3466 1 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝐹𝑆) = (𝐹 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061   ∩ cin 3722   ⊆ wss 3723  𝒫 cpw 4298  ∪ cuni 4575  dom cdm 5250   “ cima 5253  ‘cfv 6030  Fincfn 8113  Moorecmre 16450  mrClscmrc 16451  ACScacs 16453  Dirsetcdrs 17135  toInccipo 17359 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ocomp 16171  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-preset 17136  df-drs 17137  df-poset 17154  df-ipo 17360 This theorem is referenced by:  acsficld  17383
 Copyright terms: Public domain W3C validator