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Theorem acongrep 38049
Description: Every integer is alternating-congruent to some number in the first half of the fundamental domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
acongrep ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝑁,𝑎

Proof of Theorem acongrep
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 11377 . . . 4 2 ∈ ℕ
2 simpl 474 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℕ)
3 nnmulcl 11235 . . . 4 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
41, 2, 3sylancr 698 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
5 simpr 479 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 congrep 38042 . . 3 (((2 · 𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1))(2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))
74, 5, 6syl2anc 696 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1))(2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))
8 elfzelz 12535 . . . . 5 (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) → 𝑏 ∈ ℤ)
98zred 11674 . . . 4 (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) → 𝑏 ∈ ℝ)
109ad2antrl 766 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 𝑏 ∈ ℝ)
11 nnre 11219 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
1211ad2antrr 764 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 𝐴 ∈ ℝ)
13 elfzle1 12537 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) → 0 ≤ 𝑏)
1413ad2antrl 766 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 0 ≤ 𝑏)
1514anim1i 593 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝑏𝐴) → (0 ≤ 𝑏𝑏𝐴))
168ad2antrl 766 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 𝑏 ∈ ℤ)
17 0zd 11581 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 0 ∈ ℤ)
18 nnz 11591 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
1918ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 𝐴 ∈ ℤ)
20 elfz 12525 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ 𝑏𝑏𝐴)))
2116, 17, 19, 20syl3anc 1477 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ 𝑏𝑏𝐴)))
2221adantr 472 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ 𝑏𝑏𝐴)))
2315, 22mpbird 247 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏 ∈ (0...𝐴))
24 simplrr 820 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝑏𝐴) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))
2524orcd 406 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝑏𝐴) → ((2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − -𝑁)))
26 id 22 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏𝑎 = 𝑏)
27 eqidd 2761 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏𝑁 = 𝑁)
2826, 27acongeq12d 38048 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)) ↔ ((2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − -𝑁))))
2928rspcev 3449 . . . 4 ((𝑏 ∈ (0...𝐴) ∧ ((2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − -𝑁))) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
3023, 25, 29syl2anc 696 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝑏𝐴) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
31 simplll 815 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐴 ∈ ℕ)
32 simplrl 819 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)))
33 simpr 479 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐴𝑏)
3493ad2ant2 1129 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ)
35 2re 11282 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
36 remulcl 10213 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
3735, 11, 36sylancr 698 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
38373ad2ant1 1128 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
39 0zd 11581 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → 0 ∈ ℤ)
40 2z 11601 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
41 zmulcl 11618 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
4240, 18, 41sylancr 698 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
43423ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
44 simp2 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)))
45 elfzm11 12604 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ) → (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏𝑏 < (2 · 𝐴))))
4645biimpa 502 . . . . . . . . . . 11 (((0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ) ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1))) → (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏𝑏 < (2 · 𝐴)))
4739, 43, 44, 46syl21anc 1476 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏𝑏 < (2 · 𝐴)))
4847simp3d 1139 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑏 < (2 · 𝐴))
4934, 38, 48ltled 10377 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑏 ≤ (2 · 𝐴))
5038, 34subge0d 10809 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ↔ 𝑏 ≤ (2 · 𝐴)))
5149, 50mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → 0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏))
52113ad2ant1 1128 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐴 ∈ ℝ)
53 nncn 11220 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
54 2times 11337 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
5554oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = ((𝐴 + 𝐴) − 𝐴))
56 pncan2 10480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
5756anidms 680 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
5855, 57eqtrd 2794 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
5953, 58syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
60593ad2ant1 1128 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
61 simp3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐴𝑏)
6260, 61eqbrtrd 4826 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝐴) ≤ 𝑏)
6338, 52, 34, 62subled 10822 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)
6451, 63jca 555 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴𝑏) → (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴))
6531, 32, 33, 64syl3anc 1477 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴))
6640, 19, 41sylancr 698 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
6766, 16zsubcld 11679 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ ℤ)
68 elfz 12525 . . . . . . 7 ((((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)))
6967, 17, 19, 68syl3anc 1477 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)))
7069adantr 472 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)))
7165, 70mpbird 247 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴))
72 simplr 809 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
73 simprr 813 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))
74 congsym 38037 . . . . . . . . 9 ((((2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑁𝑏))
7566, 16, 72, 73, 74syl22anc 1478 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑁𝑏))
7672, 16zsubcld 11679 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (𝑁𝑏) ∈ ℤ)
77 dvdsadd 15226 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑏) ∈ ℤ) → ((2 · 𝐴) ∥ (𝑁𝑏) ↔ (2 · 𝐴) ∥ ((2 · 𝐴) + (𝑁𝑏))))
7866, 76, 77syl2anc 696 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → ((2 · 𝐴) ∥ (𝑁𝑏) ↔ (2 · 𝐴) ∥ ((2 · 𝐴) + (𝑁𝑏))))
7975, 78mpbid 222 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ ((2 · 𝐴) + (𝑁𝑏)))
8067zcnd 11675 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ ℂ)
81 zcn 11574 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
8281ad2antlr 765 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 𝑁 ∈ ℂ)
8380, 82subnegd 10591 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁) = (((2 · 𝐴) − 𝑏) + 𝑁))
8466zcnd 11675 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
8510recnd 10260 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → 𝑏 ∈ ℂ)
8684, 85, 82subadd23d 10606 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) + 𝑁) = ((2 · 𝐴) + (𝑁𝑏)))
8783, 86eqtrd 2794 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁) = ((2 · 𝐴) + (𝑁𝑏)))
8879, 87breqtrrd 4832 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))
8988adantr 472 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))
9089olcd 407 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → ((2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁)))
91 id 22 . . . . . 6 (𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏) → 𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏))
92 eqidd 2761 . . . . . 6 (𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏) → 𝑁 = 𝑁)
9391, 92acongeq12d 38048 . . . . 5 (𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏) → (((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)) ↔ ((2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))))
9493rspcev 3449 . . . 4 ((((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ∧ ((2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
9571, 90, 94syl2anc 696 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) ∧ 𝐴𝑏) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
9610, 12, 30, 95lecasei 10335 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏𝑁))) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
977, 96rexlimddv 3173 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458  -cneg 10459  cn 11212  2c2 11262  cz 11569  ...cfz 12519  cdvds 15182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fl 12787  df-mod 12863  df-dvds 15183
This theorem is referenced by:  jm2.26  38071
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