MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acnnum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acnnum 9074
Description: A set 𝑋 which has choice sequences on it of length 𝒫 𝑋 is well-orderable (and hence has choice sequences of every length). (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acnnum (𝑋AC 𝒫 𝑋𝑋 ∈ dom card)

Proof of Theorem acnnum
Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwexg 4978 . . . . . . 7 (𝑋AC 𝒫 𝑋 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
2 difss 3886 . . . . . . 7 (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ⊆ 𝒫 𝑋
3 ssdomg 8154 . . . . . . 7 (𝒫 𝑋 ∈ V → ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ⊆ 𝒫 𝑋 → (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ≼ 𝒫 𝑋))
41, 2, 3mpisyl 21 . . . . . 6 (𝑋AC 𝒫 𝑋 → (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ≼ 𝒫 𝑋)
5 acndom 9073 . . . . . 6 ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ≼ 𝒫 𝑋 → (𝑋AC 𝒫 𝑋𝑋AC (𝒫 𝑋 ∖ {∅})))
64, 5mpcom 38 . . . . 5 (𝑋AC 𝒫 𝑋𝑋AC (𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
7 eldifsn 4451 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥 ≠ ∅))
8 elpwi 4305 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑋)
98anim1i 594 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥 ≠ ∅) → (𝑥𝑋𝑥 ≠ ∅))
107, 9sylbi 207 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → (𝑥𝑋𝑥 ≠ ∅))
1110rgen 3070 . . . . 5 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑥𝑋𝑥 ≠ ∅)
12 acni2 9068 . . . . 5 ((𝑋AC (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑥𝑋𝑥 ≠ ∅)) → ∃𝑓(𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
136, 11, 12sylancl 566 . . . 4 (𝑋AC 𝒫 𝑋 → ∃𝑓(𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
14 simpr 471 . . . . . 6 ((𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
157imbi1i 338 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥 ≠ ∅) → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
16 impexp 437 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥 ≠ ∅) → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
1715, 16bitri 264 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
1817ralbii2 3126 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓𝑥) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
1914, 18sylib 208 . . . . 5 ((𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
2019eximi 1909 . . . 4 (∃𝑓(𝑓:(𝒫 𝑋 ∖ {∅})⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅})(𝑓𝑥) ∈ 𝑥) → ∃𝑓𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
2113, 20syl 17 . . 3 (𝑋AC 𝒫 𝑋 → ∃𝑓𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
22 dfac8a 9052 . . 3 (𝑋AC 𝒫 𝑋 → (∃𝑓𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) → 𝑋 ∈ dom card))
2321, 22mpd 15 . 2 (𝑋AC 𝒫 𝑋𝑋 ∈ dom card)
24 pwexg 4978 . . 3 (𝑋 ∈ dom card → 𝒫 𝑋 ∈ V)
25 numacn 9071 . . 3 (𝒫 𝑋 ∈ V → (𝑋 ∈ dom card → 𝑋AC 𝒫 𝑋))
2624, 25mpcom 38 . 2 (𝑋 ∈ dom card → 𝑋AC 𝒫 𝑋)
2723, 26impbii 199 1 (𝑋AC 𝒫 𝑋𝑋 ∈ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wex 1851  wcel 2144  wne 2942  wral 3060  Vcvv 3349  cdif 3718  wss 3721  c0 4061  𝒫 cpw 4295  {csn 4314   class class class wbr 4784  dom cdm 5249  wf 6027  cfv 6031  cdom 8106  cardccrd 8960  AC wacn 8963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-1o 7712  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-fin 8112  df-card 8964  df-acn 8967
This theorem is referenced by:  dfac13  9165
  Copyright terms: Public domain W3C validator