Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acni 9067
 Description: The property of being a choice set of length 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acni ((𝑋AC 𝐴𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → ∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝐴   𝑔,𝐹,𝑥   𝑔,𝑋,𝑥

Proof of Theorem acni
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6331 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑥) = (𝐹𝑥))
21eleq2d 2835 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥) ↔ (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
32ralbidv 3134 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
43exbidv 2001 . 2 (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥) ↔ ∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
5 acnrcl 9064 . . . . 5 (𝑋AC 𝐴𝐴 ∈ V)
6 isacn 9066 . . . . 5 ((𝑋AC 𝐴𝐴 ∈ V) → (𝑋AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥)))
75, 6mpdan 659 . . . 4 (𝑋AC 𝐴 → (𝑋AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥)))
87ibi 256 . . 3 (𝑋AC 𝐴 → ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥))
98adantr 466 . 2 ((𝑋AC 𝐴𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥))
10 pwexg 4978 . . . . 5 (𝑋AC 𝐴 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
11 difexg 4939 . . . . 5 (𝒫 𝑋 ∈ V → (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ∈ V)
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝑋AC 𝐴 → (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ∈ V)
1312, 5elmapd 8022 . . 3 (𝑋AC 𝐴 → (𝐹 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴) ↔ 𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})))
1413biimpar 463 . 2 ((𝑋AC 𝐴𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → 𝐹 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴))
154, 9, 14rspcdva 3464 1 ((𝑋AC 𝐴𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → ∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1630  ∃wex 1851   ∈ wcel 2144  ∀wral 3060  Vcvv 3349   ∖ cdif 3718  ∅c0 4061  𝒫 cpw 4295  {csn 4314  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792   ↑𝑚 cmap 8008  AC wacn 8963 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-map 8010  df-acn 8967 This theorem is referenced by:  acni2  9068
 Copyright terms: Public domain W3C validator