MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acndom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acndom2 8990
Description: A set smaller than one with choice sequences of length 𝐴 also has choice sequences of length 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acndom2 (𝑋𝑌 → (𝑌AC 𝐴𝑋AC 𝐴))

Proof of Theorem acndom2
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 8083 . 2 (𝑋𝑌 → ∃𝑓 𝑓:𝑋1-1𝑌)
2 simplr 809 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) → 𝑌AC 𝐴)
3 imassrn 5587 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 “ (𝑔𝑥)) ⊆ ran 𝑓
4 simplll 815 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑓:𝑋1-1𝑌)
5 f1f 6214 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝑋1-1𝑌𝑓:𝑋𝑌)
6 frn 6166 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝑋𝑌 → ran 𝑓𝑌)
74, 5, 63syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → ran 𝑓𝑌)
83, 7syl5ss 3720 . . . . . . . . . 10 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓 “ (𝑔𝑥)) ⊆ 𝑌)
9 elmapi 7996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴) → 𝑔:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
109adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) → 𝑔:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
1110ffvelrnda 6474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
1211eldifad 3692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ∈ 𝒫 𝑋)
1312elpwid 4278 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ⊆ 𝑋)
14 f1dm 6218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝑋1-1𝑌 → dom 𝑓 = 𝑋)
154, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → dom 𝑓 = 𝑋)
1613, 15sseqtr4d 3748 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ⊆ dom 𝑓)
17 sseqin2 3925 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔𝑥) ⊆ dom 𝑓 ↔ (dom 𝑓 ∩ (𝑔𝑥)) = (𝑔𝑥))
1816, 17sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (dom 𝑓 ∩ (𝑔𝑥)) = (𝑔𝑥))
19 eldifsni 4429 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔𝑥) ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → (𝑔𝑥) ≠ ∅)
2011, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ≠ ∅)
2118, 20eqnetrd 2963 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (dom 𝑓 ∩ (𝑔𝑥)) ≠ ∅)
22 imadisj 5594 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 “ (𝑔𝑥)) = ∅ ↔ (dom 𝑓 ∩ (𝑔𝑥)) = ∅)
2322necon3bii 2948 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 “ (𝑔𝑥)) ≠ ∅ ↔ (dom 𝑓 ∩ (𝑔𝑥)) ≠ ∅)
2421, 23sylibr 224 . . . . . . . . . 10 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓 “ (𝑔𝑥)) ≠ ∅)
258, 24jca 555 . . . . . . . . 9 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑓 “ (𝑔𝑥)) ⊆ 𝑌 ∧ (𝑓 “ (𝑔𝑥)) ≠ ∅))
2625ralrimiva 3068 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) → ∀𝑥𝐴 ((𝑓 “ (𝑔𝑥)) ⊆ 𝑌 ∧ (𝑓 “ (𝑔𝑥)) ≠ ∅))
27 acni2 8982 . . . . . . . 8 ((𝑌AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑓 “ (𝑔𝑥)) ⊆ 𝑌 ∧ (𝑓 “ (𝑔𝑥)) ≠ ∅)) → ∃𝑘(𝑘:𝐴𝑌 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥))))
282, 26, 27syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) → ∃𝑘(𝑘:𝐴𝑌 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥))))
29 acnrcl 8978 . . . . . . . . 9 (𝑌AC 𝐴𝐴 ∈ V)
3029ad3antlr 769 . . . . . . . 8 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ (𝑘:𝐴𝑌 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → 𝐴 ∈ V)
31 simp-4l 825 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → 𝑓:𝑋1-1𝑌)
32 f1f1orn 6261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝑋1-1𝑌𝑓:𝑋1-1-onto→ran 𝑓)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → 𝑓:𝑋1-1-onto→ran 𝑓)
34 simprr 813 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))
353, 34sseldi 3707 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → (𝑘𝑥) ∈ ran 𝑓)
36 f1ocnvfv2 6648 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝑋1-1-onto→ran 𝑓 ∧ (𝑘𝑥) ∈ ran 𝑓) → (𝑓‘(𝑓‘(𝑘𝑥))) = (𝑘𝑥))
3733, 35, 36syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → (𝑓‘(𝑓‘(𝑘𝑥))) = (𝑘𝑥))
3837, 34eqeltrd 2803 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → (𝑓‘(𝑓‘(𝑘𝑥))) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))
39 f1ocnv 6262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝑋1-1-onto→ran 𝑓𝑓:ran 𝑓1-1-onto𝑋)
40 f1of 6250 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:ran 𝑓1-1-onto𝑋𝑓:ran 𝑓𝑋)
4133, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → 𝑓:ran 𝑓𝑋)
4241, 35ffvelrnd 6475 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ 𝑋)
4313ad2ant2r 800 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → (𝑔𝑥) ⊆ 𝑋)
44 f1elima 6635 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝑋1-1𝑌 ∧ (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ 𝑋 ∧ (𝑔𝑥) ⊆ 𝑋) → ((𝑓‘(𝑓‘(𝑘𝑥))) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)) ↔ (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ (𝑔𝑥)))
4531, 42, 43, 44syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → ((𝑓‘(𝑓‘(𝑘𝑥))) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)) ↔ (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ (𝑔𝑥)))
4638, 45mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ (𝑔𝑥))
4746expr 644 . . . . . . . . . 10 (((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)) → (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ (𝑔𝑥)))
4847ralimdva 3064 . . . . . . . . 9 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑘:𝐴𝑌) → (∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)) → ∀𝑥𝐴 (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ (𝑔𝑥)))
4948impr 650 . . . . . . . 8 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ (𝑘:𝐴𝑌 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → ∀𝑥𝐴 (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ (𝑔𝑥))
50 acnlem 8984 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓‘(𝑘𝑥)) ∈ (𝑔𝑥)) → ∃𝑥𝐴 (𝑥) ∈ (𝑔𝑥))
5130, 49, 50syl2anc 696 . . . . . . 7 ((((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) ∧ (𝑘:𝐴𝑌 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑘𝑥) ∈ (𝑓 “ (𝑔𝑥)))) → ∃𝑥𝐴 (𝑥) ∈ (𝑔𝑥))
5228, 51exlimddv 1976 . . . . . 6 (((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) ∧ 𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)) → ∃𝑥𝐴 (𝑥) ∈ (𝑔𝑥))
5352ralrimiva 3068 . . . . 5 ((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) → ∀𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)∃𝑥𝐴 (𝑥) ∈ (𝑔𝑥))
54 vex 3307 . . . . . . . 8 𝑓 ∈ V
5554dmex 7216 . . . . . . 7 dom 𝑓 ∈ V
5614, 55syl6eqelr 2812 . . . . . 6 (𝑓:𝑋1-1𝑌𝑋 ∈ V)
57 isacn 8980 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑋AC 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)∃𝑥𝐴 (𝑥) ∈ (𝑔𝑥)))
5856, 29, 57syl2an 495 . . . . 5 ((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) → (𝑋AC 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)∃𝑥𝐴 (𝑥) ∈ (𝑔𝑥)))
5953, 58mpbird 247 . . . 4 ((𝑓:𝑋1-1𝑌𝑌AC 𝐴) → 𝑋AC 𝐴)
6059ex 449 . . 3 (𝑓:𝑋1-1𝑌 → (𝑌AC 𝐴𝑋AC 𝐴))
6160exlimiv 1971 . 2 (∃𝑓 𝑓:𝑋1-1𝑌 → (𝑌AC 𝐴𝑋AC 𝐴))
621, 61syl 17 1 (𝑋𝑌 → (𝑌AC 𝐴𝑋AC 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1596  wex 1817  wcel 2103  wne 2896  wral 3014  Vcvv 3304  cdif 3677  cin 3679  wss 3680  c0 4023  𝒫 cpw 4266  {csn 4285   class class class wbr 4760  ccnv 5217  dom cdm 5218  ran crn 5219  cima 5221  wf 5997  1-1wf1 5998  1-1-ontowf1o 6000  cfv 6001  (class class class)co 6765  𝑚 cmap 7974  cdom 8070  AC wacn 8877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-map 7976  df-dom 8074  df-acn 8881
This theorem is referenced by:  acnen2  8991  dfac13  9077  iundomg  9476  iunctb  9509
  Copyright terms: Public domain W3C validator