Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem17 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij1lem17 9250
 Description: Lemma for ackbij1 9252. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem17 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)–1-1→ω
Distinct variable group:   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem17
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ackbij.f . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
21ackbij1lem10 9243 . 2 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
31ackbij1lem16 9249 . . 3 ((𝑎 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
43rgen2a 3115 . 2 𝑎 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)((𝐹𝑎) = (𝐹𝑏) → 𝑎 = 𝑏)
5 dff13 6675 . 2 (𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)–1-1→ω ↔ (𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω ∧ ∀𝑎 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)((𝐹𝑎) = (𝐹𝑏) → 𝑎 = 𝑏)))
62, 4, 5mpbir2an 993 1 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)–1-1→ω
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632  ∀wral 3050   ∩ cin 3714  𝒫 cpw 4302  {csn 4321  ∪ ciun 4672   ↦ cmpt 4881   × cxp 5264  ⟶wf 6045  –1-1→wf1 6046  ‘cfv 6049  ωcom 7230  Fincfn 8121  cardccrd 8951 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-cda 9182 This theorem is referenced by:  ackbij1  9252  ackbij1b  9253  ackbij2lem2  9254
 Copyright terms: Public domain W3C validator