MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem15 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij1lem15 9258
Description: Lemma for ackbij1 9262. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem15 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → ¬ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑐,𝑥,𝑦   𝐴,𝑐,𝑥,𝑦   𝐵,𝑐,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem15
StepHypRef Expression
1 simpr1 1233 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → 𝑐 ∈ ω)
2 ackbij1lem3 9246 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ ω → 𝑐 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
31, 2syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → 𝑐 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
4 simpr3 1237 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → ¬ 𝑐𝐵)
5 ackbij1lem1 9244 . . . . . . . 8 𝑐𝐵 → (𝐵 ∩ suc 𝑐) = (𝐵𝑐))
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → (𝐵 ∩ suc 𝑐) = (𝐵𝑐))
7 inss2 3982 . . . . . . 7 (𝐵𝑐) ⊆ 𝑐
86, 7syl6eqss 3804 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → (𝐵 ∩ suc 𝑐) ⊆ 𝑐)
9 ackbij.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
109ackbij1lem12 9255 . . . . . 6 ((𝑐 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐵 ∩ suc 𝑐) ⊆ 𝑐) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)) ⊆ (𝐹𝑐))
113, 8, 10syl2anc 573 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)) ⊆ (𝐹𝑐))
129ackbij1lem10 9253 . . . . . . . . 9 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
1312ffvelrni 6501 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (𝐹𝑐) ∈ ω)
14 nnon 7218 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑐) ∈ ω → (𝐹𝑐) ∈ On)
15 onpsssuc 7166 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑐) ∈ On → (𝐹𝑐) ⊊ suc (𝐹𝑐))
163, 13, 14, 154syl 19 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → (𝐹𝑐) ⊊ suc (𝐹𝑐))
179ackbij1lem14 9257 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ ω → (𝐹‘{𝑐}) = suc (𝐹𝑐))
181, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → (𝐹‘{𝑐}) = suc (𝐹𝑐))
1918psseq2d 3850 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → ((𝐹𝑐) ⊊ (𝐹‘{𝑐}) ↔ (𝐹𝑐) ⊊ suc (𝐹𝑐)))
2016, 19mpbird 247 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → (𝐹𝑐) ⊊ (𝐹‘{𝑐}))
21 simpll 750 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
22 inss1 3981 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ suc 𝑐) ⊆ 𝐴
239ackbij1lem11 9254 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ suc 𝑐) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∩ suc 𝑐) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
2421, 22, 23sylancl 574 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → (𝐴 ∩ suc 𝑐) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
25 ssun1 3927 . . . . . . . 8 {𝑐} ⊆ ({𝑐} ∪ (𝐴𝑐))
26 simpr2 1235 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → 𝑐𝐴)
27 ackbij1lem2 9245 . . . . . . . . 9 (𝑐𝐴 → (𝐴 ∩ suc 𝑐) = ({𝑐} ∪ (𝐴𝑐)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → (𝐴 ∩ suc 𝑐) = ({𝑐} ∪ (𝐴𝑐)))
2925, 28syl5sseqr 3803 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → {𝑐} ⊆ (𝐴 ∩ suc 𝑐))
309ackbij1lem12 9255 . . . . . . 7 (((𝐴 ∩ suc 𝑐) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ {𝑐} ⊆ (𝐴 ∩ suc 𝑐)) → (𝐹‘{𝑐}) ⊆ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
3124, 29, 30syl2anc 573 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → (𝐹‘{𝑐}) ⊆ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
3220, 31psssstrd 3866 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → (𝐹𝑐) ⊊ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
3311, 32sspsstrd 3865 . . . 4 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)) ⊊ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
3433pssned 3855 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)) ≠ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
3534necomd 2998 . 2 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)) ≠ (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)))
3635neneqd 2948 1 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐𝐴 ∧ ¬ 𝑐𝐵)) → ¬ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  cun 3721  cin 3722  wss 3723  wpss 3724  𝒫 cpw 4297  {csn 4316   ciun 4654  cmpt 4863   × cxp 5247  Oncon0 5866  suc csuc 5868  cfv 6031  ωcom 7212  Fincfn 8109  cardccrd 8961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-cda 9192
This theorem is referenced by:  ackbij1lem16  9259
  Copyright terms: Public domain W3C validator