Theorem ackbij1lem13 9039

Description: Lemma for ackbij1 9045. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ackbij.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem13	⊢ (𝐹‘∅) = ∅

Distinct variable group:   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackbij.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
2	1	ackbij1lem10 9036	. . . . 5 ⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
3		peano1 7070	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
4	2, 3	f0cli 6356	. . . 4 ⊢ (𝐹‘∅) ∈ ω
5		nna0 7669	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘∅) ∈ ω → ((𝐹‘∅) +𝑜 ∅) = (𝐹‘∅))
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝐹‘∅) +𝑜 ∅) = (𝐹‘∅)
7		un0 3958	. . . 4 ⊢ (∅ ∪ ∅) = ∅
8	7	fveq2i 6181	. . 3 ⊢ (𝐹‘(∅ ∪ ∅)) = (𝐹‘∅)
9		ackbij1lem3 9029	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ ω → ∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
10	3, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)
11		in0 3959	. . . 4 ⊢ (∅ ∩ ∅) = ∅
12	1	ackbij1lem9 9035	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ ∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (∅ ∩ ∅) = ∅) → (𝐹‘(∅ ∪ ∅)) = ((𝐹‘∅) +𝑜 (𝐹‘∅)))
13	10, 10, 11, 12	mp3an 1422	. . 3 ⊢ (𝐹‘(∅ ∪ ∅)) = ((𝐹‘∅) +𝑜 (𝐹‘∅))
14	6, 8, 13	3eqtr2ri 2649	. 2 ⊢ ((𝐹‘∅) +𝑜 (𝐹‘∅)) = ((𝐹‘∅) +𝑜 ∅)
15		nnacan 7693	. . 3 ⊢ (((𝐹‘∅) ∈ ω ∧ (𝐹‘∅) ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → (((𝐹‘∅) +𝑜 (𝐹‘∅)) = ((𝐹‘∅) +𝑜 ∅) ↔ (𝐹‘∅) = ∅))
16	4, 4, 3, 15	mp3an 1422	. 2 ⊢ (((𝐹‘∅) +𝑜 (𝐹‘∅)) = ((𝐹‘∅) +𝑜 ∅) ↔ (𝐹‘∅) = ∅)
17	14, 16	mpbi 220	1 ⊢ (𝐹‘∅) = ∅

Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1481   ∈ wcel 1988   ∪ cun 3565   ∩ cin 3566  ∅c0 3907  𝒫 cpw 4149  {csn 4168  ∪ ciun 4511   ↦ cmpt 4720   × cxp 5102  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  ωcom 7050   +_𝑜 coa 7542  Fincfn 7940  cardccrd 8746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-cda 8975

This theorem is referenced by:  ackbij1lem14  9040  ackbij1  9045