Theorem ackbij1lem13 9256

Description: Lemma for ackbij1 9262. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ackbij.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem13	⊢ (𝐹‘∅) = ∅

Distinct variable group:   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackbij.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
2	1	ackbij1lem10 9253	. . . . 5 ⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
3		peano1 7232	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
4	2, 3	f0cli 6513	. . . 4 ⊢ (𝐹‘∅) ∈ ω
5		nna0 7838	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘∅) ∈ ω → ((𝐹‘∅) +𝑜 ∅) = (𝐹‘∅))
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝐹‘∅) +𝑜 ∅) = (𝐹‘∅)
7		un0 4111	. . . 4 ⊢ (∅ ∪ ∅) = ∅
8	7	fveq2i 6335	. . 3 ⊢ (𝐹‘(∅ ∪ ∅)) = (𝐹‘∅)
9		ackbij1lem3 9246	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ ω → ∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
10	3, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)
11		in0 4112	. . . 4 ⊢ (∅ ∩ ∅) = ∅
12	1	ackbij1lem9 9252	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ ∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (∅ ∩ ∅) = ∅) → (𝐹‘(∅ ∪ ∅)) = ((𝐹‘∅) +𝑜 (𝐹‘∅)))
13	10, 10, 11, 12	mp3an 1572	. . 3 ⊢ (𝐹‘(∅ ∪ ∅)) = ((𝐹‘∅) +𝑜 (𝐹‘∅))
14	6, 8, 13	3eqtr2ri 2800	. 2 ⊢ ((𝐹‘∅) +𝑜 (𝐹‘∅)) = ((𝐹‘∅) +𝑜 ∅)
15		nnacan 7862	. . 3 ⊢ (((𝐹‘∅) ∈ ω ∧ (𝐹‘∅) ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → (((𝐹‘∅) +𝑜 (𝐹‘∅)) = ((𝐹‘∅) +𝑜 ∅) ↔ (𝐹‘∅) = ∅))
16	4, 4, 3, 15	mp3an 1572	. 2 ⊢ (((𝐹‘∅) +𝑜 (𝐹‘∅)) = ((𝐹‘∅) +𝑜 ∅) ↔ (𝐹‘∅) = ∅)
17	14, 16	mpbi 220	1 ⊢ (𝐹‘∅) = ∅

Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3721   ∩ cin 3722  ∅c0 4063  𝒫 cpw 4297  {csn 4316  ∪ ciun 4654   ↦ cmpt 4863   × cxp 5247  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ωcom 7212   +_𝑜 coa 7710  Fincfn 8109  cardccrd 8961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-cda 9192

This theorem is referenced by:  ackbij1lem14  9257  ackbij1  9262