MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij1lem12 9266
Description: Lemma for ackbij1 9273. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem12 ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem12
StepHypRef Expression
1 ackbij.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
21ackbij1lem10 9264 . . . 4 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
31ackbij1lem11 9265 . . . 4 ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
4 ffvelrn 6522 . . . 4 ((𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω ∧ 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐹𝐴) ∈ ω)
52, 3, 4sylancr 698 . . 3 ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐹𝐴) ∈ ω)
6 difssd 3882 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵𝐴) ⊆ 𝐵)
71ackbij1lem11 9265 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐵𝐴) ⊆ 𝐵) → (𝐵𝐴) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
86, 7syldan 488 . . . 4 ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵𝐴) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
9 ffvelrn 6522 . . . 4 ((𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω ∧ (𝐵𝐴) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐹‘(𝐵𝐴)) ∈ ω)
102, 8, 9sylancr 698 . . 3 ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐹‘(𝐵𝐴)) ∈ ω)
11 nnaword1 7881 . . 3 (((𝐹𝐴) ∈ ω ∧ (𝐹‘(𝐵𝐴)) ∈ ω) → (𝐹𝐴) ⊆ ((𝐹𝐴) +𝑜 (𝐹‘(𝐵𝐴))))
125, 10, 11syl2anc 696 . 2 ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐹𝐴) ⊆ ((𝐹𝐴) +𝑜 (𝐹‘(𝐵𝐴))))
13 disjdif 4185 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅
1413a1i 11 . . . 4 ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅)
151ackbij1lem9 9263 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐵𝐴) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅) → (𝐹‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = ((𝐹𝐴) +𝑜 (𝐹‘(𝐵𝐴))))
163, 8, 14, 15syl3anc 1477 . . 3 ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐹‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = ((𝐹𝐴) +𝑜 (𝐹‘(𝐵𝐴))))
17 undif 4194 . . . . . 6 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
1817biimpi 206 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
1918adantl 473 . . . 4 ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
2019fveq2d 6358 . . 3 ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐹‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = (𝐹𝐵))
2116, 20eqtr3d 2797 . 2 ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐹𝐴) +𝑜 (𝐹‘(𝐵𝐴))) = (𝐹𝐵))
2212, 21sseqtrd 3783 1 ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  cdif 3713  cun 3714  cin 3715  wss 3716  c0 4059  𝒫 cpw 4303  {csn 4322   ciun 4673  cmpt 4882   × cxp 5265  wf 6046  cfv 6050  (class class class)co 6815  ωcom 7232   +𝑜 coa 7728  Fincfn 8124  cardccrd 8972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-card 8976  df-cda 9203
This theorem is referenced by:  ackbij1lem15  9269  ackbij1b  9274
  Copyright terms: Public domain W3C validator