Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij1lem10 9089
 Description: Lemma for ackbij1 9098. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem10 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
Distinct variable group:   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem10
StepHypRef Expression
1 ackbij.f . 2 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
2 inss2 3867 . . . . 5 (𝒫 ω ∩ Fin) ⊆ Fin
32sseli 3632 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
4 snfi 8079 . . . . . 6 {𝑦} ∈ Fin
5 inss1 3866 . . . . . . . . . . 11 (𝒫 ω ∩ Fin) ⊆ 𝒫 ω
65sseli 3632 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 ω)
76elpwid 4203 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ ω)
8 onfin2 8193 . . . . . . . . . 10 ω = (On ∩ Fin)
9 inss2 3867 . . . . . . . . . 10 (On ∩ Fin) ⊆ Fin
108, 9eqsstri 3668 . . . . . . . . 9 ω ⊆ Fin
117, 10syl6ss 3648 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ Fin)
1211sselda 3636 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
13 pwfi 8302 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
1412, 13sylib 208 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
15 xpfi 8272 . . . . . 6 (({𝑦} ∈ Fin ∧ 𝒫 𝑦 ∈ Fin) → ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
164, 14, 15sylancr 696 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
1716ralrimiva 2995 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → ∀𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
18 iunfi 8295 . . . 4 ((𝑥 ∈ Fin ∧ ∀𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin) → 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
193, 17, 18syl2anc 694 . . 3 (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
20 ficardom 8825 . . 3 ( 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin → (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)) ∈ ω)
2119, 20syl 17 . 2 (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)) ∈ ω)
221, 21fmpti 6423 1 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941   ∩ cin 3606  𝒫 cpw 4191  {csn 4210  ∪ ciun 4552   ↦ cmpt 4762   × cxp 5141  Oncon0 5761  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  ωcom 7107  Fincfn 7997  cardccrd 8799 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803 This theorem is referenced by:  ackbij1lem12  9091  ackbij1lem13  9092  ackbij1lem14  9093  ackbij1lem15  9094  ackbij1lem16  9095  ackbij1lem17  9096  ackbij1lem18  9097  ackbij1b  9099
 Copyright terms: Public domain W3C validator