Theorem acacni 9164

Description: A choice equivalent: every set has choice sets of every length. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acacni	⊢ ((CHOICE ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → AC 𝐴 = V)

Proof of Theorem acacni

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 471	. . . 4 ⊢ ((CHOICE ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		vex 3354	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		simpl 468	. . . . . 6 ⊢ ((CHOICE ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → CHOICE)
4		dfac10 9161	. . . . . 6 ⊢ (CHOICE ↔ dom card = V)
5	3, 4	sylib 208	. . . . 5 ⊢ ((CHOICE ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → dom card = V)
6	2, 5	syl5eleqr 2857	. . . 4 ⊢ ((CHOICE ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ dom card)
7		numacn 9072	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ dom card → 𝑥 ∈ AC 𝐴))
8	1, 6, 7	sylc 65	. . 3 ⊢ ((CHOICE ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ AC 𝐴)
9	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((CHOICE ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ V)
10	8, 9	2thd 255	. 2 ⊢ ((CHOICE ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ AC 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ V))
11	10	eqrdv 2769	1 ⊢ ((CHOICE ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → AC 𝐴 = V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351  dom cdm 5249  cardccrd 8961  AC wacn 8964  CHOICEwac 9138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-card 8965  df-acn 8968  df-ac 9139

This theorem is referenced by:  dfacacn  9165  dfac13  9166  ptcls  21640  dfac14  21642