MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ac9 9418
Description: An Axiom of Choice equivalent: the infinite Cartesian product of nonempty classes is nonempty. Axiom of Choice (second form) of [Enderton] p. 55 and its converse. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6c4.1 𝐴 ∈ V
ac6c4.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
ac9 (∀𝑥𝐴 𝐵 ≠ ∅ ↔ X𝑥𝐴 𝐵 ≠ ∅)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ac9
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ac6c4.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
2 ac6c4.2 . . . 4 𝐵 ∈ V
31, 2ac6c4 9416 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵))
4 n0 4039 . . . 4 (X𝑥𝐴 𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓X𝑥𝐴 𝐵)
5 vex 3307 . . . . . 6 𝑓 ∈ V
65elixp 8032 . . . . 5 (𝑓X𝑥𝐴 𝐵 ↔ (𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵))
76exbii 1887 . . . 4 (∃𝑓 𝑓X𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵))
84, 7bitr2i 265 . . 3 (∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵) ↔ X𝑥𝐴 𝐵 ≠ ∅)
93, 8sylib 208 . 2 (∀𝑥𝐴 𝐵 ≠ ∅ → X𝑥𝐴 𝐵 ≠ ∅)
10 ixpn0 8057 . 2 (X𝑥𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∀𝑥𝐴 𝐵 ≠ ∅)
119, 10impbii 199 1 (∀𝑥𝐴 𝐵 ≠ ∅ ↔ X𝑥𝐴 𝐵 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383  wex 1817  wcel 2103  wne 2896  wral 3014  Vcvv 3304  c0 4023   Fn wfn 5996  cfv 6001  Xcixp 8025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-ac2 9398
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-ixp 8026  df-en 8073  df-card 8878  df-ac 9052
This theorem is referenced by:  konigthlem  9503
  Copyright terms: Public domain W3C validator