MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6s Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ac6s 9291
Description: Equivalent of Axiom of Choice. Using the Boundedness Axiom bnd2 8741, we derive this strong version of ac6 9287 that doesn't require 𝐵 to be a set. (Contributed by NM, 4-Feb-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6s.1 𝐴 ∈ V
ac6s.2 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
ac6s (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵,𝑓   𝜑,𝑓   𝜓,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑓)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem ac6s
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ac6s.1 . . 3 𝐴 ∈ V
21bnd2 8741 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 → ∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜑))
3 vex 3198 . . . . 5 𝑧 ∈ V
4 ac6s.2 . . . . 5 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝜑𝜓))
51, 3, 4ac6 9287 . . . 4 (∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
65anim2i 592 . . 3 ((𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜑) → (𝑧𝐵 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)))
76eximi 1760 . 2 (∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜑) → ∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)))
8 fss 6043 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴𝑧𝑧𝐵) → 𝑓:𝐴𝐵)
98expcom 451 . . . . . 6 (𝑧𝐵 → (𝑓:𝐴𝑧𝑓:𝐴𝐵))
109anim1d 587 . . . . 5 (𝑧𝐵 → ((𝑓:𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓) → (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)))
1110eximdv 1844 . . . 4 (𝑧𝐵 → (∃𝑓(𝑓:𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓) → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)))
1211imp 445 . . 3 ((𝑧𝐵 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)) → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
1312exlimiv 1856 . 2 (∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)) → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
142, 7, 133syl 18 1 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wex 1702  wcel 1988  wral 2909  wrex 2910  Vcvv 3195  wss 3567  wf 5872  cfv 5876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-reg 8482  ax-inf2 8523  ax-ac2 9270
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-om 7051  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-en 7941  df-r1 8612  df-rank 8613  df-card 8750  df-ac 8924
This theorem is referenced by:  ac6n  9292  ac6s2  9293  ac6sg  9295  ac6sf  9296  nmounbseqiALT  27603  ac6sf2  29401  acunirnmpt2  29433
  Copyright terms: Public domain W3C validator