MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6s Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ac6s 9507
Description: Equivalent of Axiom of Choice. Using the Boundedness Axiom bnd2 8919, we derive this strong version of ac6 9503 that doesn't require 𝐵 to be a set. (Contributed by NM, 4-Feb-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6s.1 𝐴 ∈ V
ac6s.2 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
ac6s (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵,𝑓   𝜑,𝑓   𝜓,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑓)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem ac6s
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ac6s.1 . . 3 𝐴 ∈ V
21bnd2 8919 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 → ∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜑))
3 vex 3352 . . . . 5 𝑧 ∈ V
4 ac6s.2 . . . . 5 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝜑𝜓))
51, 3, 4ac6 9503 . . . 4 (∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
65anim2i 595 . . 3 ((𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜑) → (𝑧𝐵 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)))
76eximi 1909 . 2 (∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑧 𝜑) → ∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)))
8 fss 6196 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴𝑧𝑧𝐵) → 𝑓:𝐴𝐵)
98expcom 398 . . . . . 6 (𝑧𝐵 → (𝑓:𝐴𝑧𝑓:𝐴𝐵))
109anim1d 590 . . . . 5 (𝑧𝐵 → ((𝑓:𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓) → (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)))
1110eximdv 1997 . . . 4 (𝑧𝐵 → (∃𝑓(𝑓:𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓) → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)))
1211imp 393 . . 3 ((𝑧𝐵 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)) → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
1312exlimiv 2009 . 2 (∃𝑧(𝑧𝐵 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)) → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
142, 7, 133syl 18 1 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wex 1851  wcel 2144  wral 3060  wrex 3061  Vcvv 3349  wss 3721  wf 6027  cfv 6031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-reg 8652  ax-inf2 8701  ax-ac2 9486
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-en 8109  df-r1 8790  df-rank 8791  df-card 8964  df-ac 9138
This theorem is referenced by:  ac6n  9508  ac6s2  9509  ac6sg  9511  ac6sf  9512  nmounbseqiALT  27967  ac6sf2  29763  acunirnmpt2  29794
  Copyright terms: Public domain W3C validator