MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ac6n 9345
Description: Equivalent of Axiom of Choice. Contrapositive of ac6s 9344. (Contributed by NM, 10-Jun-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6s.1 𝐴 ∈ V
ac6s.2 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
ac6n (∀𝑓(𝑓:𝐴𝐵 → ∃𝑥𝐴 𝜓) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵,𝑓   𝜑,𝑓   𝜓,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑓)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem ac6n
StepHypRef Expression
1 ac6s.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
2 ac6s.2 . . . . 5 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝜑𝜓))
32notbid 307 . . . 4 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (¬ 𝜑 ↔ ¬ 𝜓))
41, 3ac6s 9344 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ¬ 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝜓))
54con3i 150 . 2 (¬ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝜓) → ¬ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ¬ 𝜑)
6 dfrex2 3025 . . . . 5 (∃𝑥𝐴 𝜓 ↔ ¬ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝜓)
76imbi2i 325 . . . 4 ((𝑓:𝐴𝐵 → ∃𝑥𝐴 𝜓) ↔ (𝑓:𝐴𝐵 → ¬ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝜓))
87albii 1787 . . 3 (∀𝑓(𝑓:𝐴𝐵 → ∃𝑥𝐴 𝜓) ↔ ∀𝑓(𝑓:𝐴𝐵 → ¬ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝜓))
9 alinexa 1810 . . 3 (∀𝑓(𝑓:𝐴𝐵 → ¬ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝜓) ↔ ¬ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝜓))
108, 9bitri 264 . 2 (∀𝑓(𝑓:𝐴𝐵 → ∃𝑥𝐴 𝜓) ↔ ¬ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝜓))
11 dfral2 3023 . . . 4 (∀𝑦𝐵 𝜑 ↔ ¬ ∃𝑦𝐵 ¬ 𝜑)
1211rexbii 3070 . . 3 (∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑥𝐴 ¬ ∃𝑦𝐵 ¬ 𝜑)
13 rexnal 3024 . . 3 (∃𝑥𝐴 ¬ ∃𝑦𝐵 ¬ 𝜑 ↔ ¬ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ¬ 𝜑)
1412, 13bitri 264 . 2 (∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 ↔ ¬ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ¬ 𝜑)
155, 10, 143imtr4i 281 1 (∀𝑓(𝑓:𝐴𝐵 → ∃𝑥𝐴 𝜓) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  wal 1521   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  wf 5922  cfv 5926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-reg 8538  ax-inf2 8576  ax-ac2 9323
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-en 7998  df-r1 8665  df-rank 8666  df-card 8803  df-ac 8977
This theorem is referenced by:  nmobndseqiALT  27763
  Copyright terms: Public domain W3C validator