MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6c4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ac6c4 9505
Description: Equivalent of Axiom of Choice. 𝐵 is a collection 𝐵(𝑥) of nonempty sets. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6c4.1 𝐴 ∈ V
ac6c4.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
ac6c4 (∀𝑥𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝐵,𝑓
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ac6c4
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1995 . . . 4 𝑧 𝐵 ≠ ∅
2 nfcsb1v 3698 . . . . 5 𝑥𝑧 / 𝑥𝐵
3 nfcv 2913 . . . . 5 𝑥
42, 3nfne 3043 . . . 4 𝑥𝑧 / 𝑥𝐵 ≠ ∅
5 csbeq1a 3691 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧𝐵 = 𝑧 / 𝑥𝐵)
65neeq1d 3002 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (𝐵 ≠ ∅ ↔ 𝑧 / 𝑥𝐵 ≠ ∅))
71, 4, 6cbvral 3316 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐵 ≠ ∅ ↔ ∀𝑧𝐴 𝑧 / 𝑥𝐵 ≠ ∅)
8 n0 4078 . . . . 5 (𝑧 / 𝑥𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝑧 / 𝑥𝐵)
9 nfv 1995 . . . . . 6 𝑦 𝑧𝐴
10 nfre1 3153 . . . . . 6 𝑦𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑧 / 𝑥𝐵
112nfel2 2930 . . . . . . . . . 10 𝑥 𝑦𝑧 / 𝑥𝐵
125eleq2d 2836 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝑦𝐵𝑦𝑧 / 𝑥𝐵))
1311, 12rspce 3455 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐴𝑦𝑧 / 𝑥𝐵) → ∃𝑥𝐴 𝑦𝐵)
14 eliun 4658 . . . . . . . . 9 (𝑦 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑦𝐵)
1513, 14sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐴𝑦𝑧 / 𝑥𝐵) → 𝑦 𝑥𝐴 𝐵)
16 rspe 3151 . . . . . . . 8 ((𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑧 / 𝑥𝐵) → ∃𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑧 / 𝑥𝐵)
1715, 16sylancom 576 . . . . . . 7 ((𝑧𝐴𝑦𝑧 / 𝑥𝐵) → ∃𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑧 / 𝑥𝐵)
1817ex 397 . . . . . 6 (𝑧𝐴 → (𝑦𝑧 / 𝑥𝐵 → ∃𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑧 / 𝑥𝐵))
199, 10, 18exlimd 2243 . . . . 5 (𝑧𝐴 → (∃𝑦 𝑦𝑧 / 𝑥𝐵 → ∃𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑧 / 𝑥𝐵))
208, 19syl5bi 232 . . . 4 (𝑧𝐴 → (𝑧 / 𝑥𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑧 / 𝑥𝐵))
2120ralimia 3099 . . 3 (∀𝑧𝐴 𝑧 / 𝑥𝐵 ≠ ∅ → ∀𝑧𝐴𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑧 / 𝑥𝐵)
227, 21sylbi 207 . 2 (∀𝑥𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∀𝑧𝐴𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑧 / 𝑥𝐵)
23 ac6c4.1 . . 3 𝐴 ∈ V
24 ac6c4.2 . . . 4 𝐵 ∈ V
2523, 24iunex 7294 . . 3 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V
26 eleq1 2838 . . 3 (𝑦 = (𝑓𝑧) → (𝑦𝑧 / 𝑥𝐵 ↔ (𝑓𝑧) ∈ 𝑧 / 𝑥𝐵))
2723, 25, 26ac6 9504 . 2 (∀𝑧𝐴𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑧 / 𝑥𝐵 → ∃𝑓(𝑓:𝐴 𝑥𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑧𝐴 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧 / 𝑥𝐵))
28 ffn 6185 . . . 4 (𝑓:𝐴 𝑥𝐴 𝐵𝑓 Fn 𝐴)
29 nfv 1995 . . . . . 6 𝑧(𝑓𝑥) ∈ 𝐵
302nfel2 2930 . . . . . 6 𝑥(𝑓𝑧) ∈ 𝑧 / 𝑥𝐵
31 fveq2 6332 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑧))
3231, 5eleq12d 2844 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑓𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑓𝑧) ∈ 𝑧 / 𝑥𝐵))
3329, 30, 32cbvral 3316 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧 / 𝑥𝐵)
3433biimpri 218 . . . 4 (∀𝑧𝐴 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧 / 𝑥𝐵 → ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
3528, 34anim12i 600 . . 3 ((𝑓:𝐴 𝑥𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑧𝐴 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧 / 𝑥𝐵) → (𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵))
3635eximi 1910 . 2 (∃𝑓(𝑓:𝐴 𝑥𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑧𝐴 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧 / 𝑥𝐵) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵))
3722, 27, 363syl 18 1 (∀𝑥𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wex 1852  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3351  csb 3682  c0 4063   ciun 4654   Fn wfn 6026  wf 6027  cfv 6031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-ac2 9487
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-en 8110  df-card 8965  df-ac 9139
This theorem is referenced by:  ac6c5  9506  ac9  9507
  Copyright terms: Public domain W3C validator