MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac5num Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ac5num 9059
Description: A version of ac5b 9502 with the choice as a hypothesis. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ac5num (( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) → ∃𝑓(𝑓:𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝐴

Proof of Theorem ac5num
Dummy variables 𝑔 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniexr 7119 . . . 4 ( 𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ∈ V)
2 dfac8b 9054 . . . 4 ( 𝐴 ∈ dom card → ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)
3 dfac8c 9056 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We 𝐴 → ∃𝑔𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)))
41, 2, 3sylc 65 . . 3 ( 𝐴 ∈ dom card → ∃𝑔𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥))
54adantr 466 . 2 (( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) → ∃𝑔𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥))
6 nelne2 3040 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
76ancoms 455 . . . . . . . . . . 11 ((¬ ∅ ∈ 𝐴𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
87adantll 693 . . . . . . . . . 10 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
9 pm2.27 42 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ≠ ∅ → ((𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥) → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥))
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥) → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥))
1110ralimdva 3111 . . . . . . . 8 (( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) → (∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝑥))
1211imp 393 . . . . . . 7 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) → ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)
13 fveq2 6332 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑦))
14 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦)
1513, 14eleq12d 2844 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑔𝑥) ∈ 𝑥 ↔ (𝑔𝑦) ∈ 𝑦))
1615rspccva 3459 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝑥𝑦𝐴) → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦)
1712, 16sylan 569 . . . . . 6 (((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦)
18 elunii 4579 . . . . . 6 (((𝑔𝑦) ∈ 𝑦𝑦𝐴) → (𝑔𝑦) ∈ 𝐴)
1917, 18sylancom 576 . . . . 5 (((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑔𝑦) ∈ 𝐴)
20 eqid 2771 . . . . 5 (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)) = (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))
2119, 20fmptd 6527 . . . 4 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) → (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)):𝐴 𝐴)
221ad2antrr 705 . . . 4 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) → 𝐴 ∈ V)
23 elex 3364 . . . . 5 ( 𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ∈ V)
2423ad2antrr 705 . . . 4 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) → 𝐴 ∈ V)
25 fex2 7268 . . . 4 (((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)):𝐴 𝐴𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)) ∈ V)
2621, 22, 24, 25syl3anc 1476 . . 3 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) → (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)) ∈ V)
27 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝑔𝑦) = (𝑔𝑥))
28 fvex 6342 . . . . . . . 8 (𝑔𝑥) ∈ V
2927, 20, 28fvmpt 6424 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥) = (𝑔𝑥))
3029eleq1d 2835 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → (((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥) ∈ 𝑥 ↔ (𝑔𝑥) ∈ 𝑥))
3130ralbiia 3128 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)
3212, 31sylibr 224 . . . 4 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) → ∀𝑥𝐴 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥) ∈ 𝑥)
3321, 32jca 501 . . 3 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) → ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)):𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥) ∈ 𝑥))
34 feq1 6166 . . . . 5 (𝑓 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)) → (𝑓:𝐴 𝐴 ↔ (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)):𝐴 𝐴))
35 fveq1 6331 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)) → (𝑓𝑥) = ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥))
3635eleq1d 2835 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)) → ((𝑓𝑥) ∈ 𝑥 ↔ ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥) ∈ 𝑥))
3736ralbidv 3135 . . . . 5 (𝑓 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)) → (∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥) ∈ 𝑥))
3834, 37anbi12d 616 . . . 4 (𝑓 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)) → ((𝑓:𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)):𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥) ∈ 𝑥)))
3938spcegv 3445 . . 3 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)) ∈ V → (((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)):𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∃𝑓(𝑓:𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
4026, 33, 39sylc 65 . 2 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) → ∃𝑓(𝑓:𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
415, 40exlimddv 2015 1 (( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) → ∃𝑓(𝑓:𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  Vcvv 3351  c0 4063   cuni 4574  cmpt 4863   We wwe 5207  dom cdm 5249  wf 6027  cfv 6031  cardccrd 8961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-en 8110  df-card 8965
This theorem is referenced by:  numacn  9072  ac5b  9502  ac6num  9503
  Copyright terms: Public domain W3C validator