MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvneg 19056
Description: The absolute value of a negative is the same as that of the positive. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvneg.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvneg.p 𝑁 = (invg𝑅)
Assertion
Ref Expression
abvneg ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) = (𝐹𝑋))

Proof of Theorem abvneg
StepHypRef Expression
1 abv0.a . . . . . . 7 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
21abvrcl 19043 . . . . . 6 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Ring)
32adantr 472 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
4 ringgrp 18772 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
52, 4syl 17 . . . . . 6 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Grp)
6 abvneg.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
7 abvneg.p . . . . . . 7 𝑁 = (invg𝑅)
86, 7grpinvcl 17688 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
95, 8sylan 489 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
10 simpr 479 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
11 eqid 2760 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
12 eqid 2760 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
136, 11, 12ring1eq0 18810 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → (𝑁𝑋) = 𝑋))
143, 9, 10, 13syl3anc 1477 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → (𝑁𝑋) = 𝑋))
1514imp 444 . . 3 (((𝐹𝐴𝑋𝐵) ∧ (1r𝑅) = (0g𝑅)) → (𝑁𝑋) = 𝑋)
1615fveq2d 6357 . 2 (((𝐹𝐴𝑋𝐵) ∧ (1r𝑅) = (0g𝑅)) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) = (𝐹𝑋))
176, 11ringidcl 18788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
182, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹𝐴 → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
196, 7grpinvcl 17688 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵)
205, 18, 19syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹𝐴 → (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵)
211, 6abvcl 19046 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) ∈ ℝ)
2220, 21mpdan 705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹𝐴 → (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) ∈ ℝ)
2322recnd 10280 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝐴 → (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) ∈ ℂ)
2423sqvald 13219 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝐴 → ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) · (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))))
25 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 (.r𝑅) = (.r𝑅)
261, 6, 25abvmul 19051 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)(𝑁‘(1r𝑅)))) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) · (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))))
2720, 20, 26mpd3an23 1575 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝐴 → (𝐹‘((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)(𝑁‘(1r𝑅)))) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) · (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))))
286, 25, 7, 2, 20, 18ringmneg2 18817 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹𝐴 → ((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)(𝑁‘(1r𝑅))) = (𝑁‘((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)(1r𝑅))))
296, 25, 11, 7, 2, 18ringnegl 18814 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹𝐴 → ((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)(1r𝑅)) = (𝑁‘(1r𝑅)))
3029fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹𝐴 → (𝑁‘((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)(1r𝑅))) = (𝑁‘(𝑁‘(1r𝑅))))
316, 7grpinvinv 17703 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘(1r𝑅))) = (1r𝑅))
325, 18, 31syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹𝐴 → (𝑁‘(𝑁‘(1r𝑅))) = (1r𝑅))
3328, 30, 323eqtrd 2798 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝐴 → ((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)(𝑁‘(1r𝑅))) = (1r𝑅))
3433fveq2d 6357 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝐴 → (𝐹‘((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)(𝑁‘(1r𝑅)))) = (𝐹‘(1r𝑅)))
3524, 27, 343eqtr2d 2800 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐴 → ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = (𝐹‘(1r𝑅)))
3635adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = (𝐹‘(1r𝑅)))
371, 11, 12abv1z 19054 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴 ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (𝐹‘(1r𝑅)) = 1)
3836, 37eqtrd 2794 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴 ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = 1)
39 sq1 13172 . . . . . . . 8 (1↑2) = 1
4038, 39syl6eqr 2812 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = (1↑2))
411, 6abvge0 19047 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))))
4220, 41mpdan 705 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐴 → 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))))
43 1re 10251 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
44 0le1 10763 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 1
45 sq11 13150 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → (((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = (1↑2) ↔ (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) = 1))
4643, 44, 45mpanr12 723 . . . . . . . . 9 (((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))) → (((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = (1↑2) ↔ (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) = 1))
4722, 42, 46syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝐹𝐴 → (((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = (1↑2) ↔ (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) = 1))
4847biimpa 502 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅)))↑2) = (1↑2)) → (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) = 1)
4940, 48syldan 488 . . . . . 6 ((𝐹𝐴 ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) = 1)
5049adantlr 753 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑋𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) = 1)
5150oveq1d 6829 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑋𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) · (𝐹𝑋)) = (1 · (𝐹𝑋)))
52 simpl 474 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → 𝐹𝐴)
5320adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵)
541, 6, 25abvmul 19051 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)𝑋)) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) · (𝐹𝑋)))
5552, 53, 10, 54syl3anc 1477 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)𝑋)) = ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) · (𝐹𝑋)))
566, 25, 11, 7, 3, 10ringnegl 18814 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → ((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)𝑋) = (𝑁𝑋))
5756fveq2d 6357 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹‘((𝑁‘(1r𝑅))(.r𝑅)𝑋)) = (𝐹‘(𝑁𝑋)))
5855, 57eqtr3d 2796 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) · (𝐹𝑋)) = (𝐹‘(𝑁𝑋)))
5958adantr 472 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑋𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ((𝐹‘(𝑁‘(1r𝑅))) · (𝐹𝑋)) = (𝐹‘(𝑁𝑋)))
6051, 59eqtr3d 2796 . . 3 (((𝐹𝐴𝑋𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (1 · (𝐹𝑋)) = (𝐹‘(𝑁𝑋)))
611, 6abvcl 19046 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
6261recnd 10280 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ ℂ)
6362mulid2d 10270 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (1 · (𝐹𝑋)) = (𝐹𝑋))
6463adantr 472 . . 3 (((𝐹𝐴𝑋𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (1 · (𝐹𝑋)) = (𝐹𝑋))
6560, 64eqtr3d 2796 . 2 (((𝐹𝐴𝑋𝐵) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) = (𝐹𝑋))
6616, 65pm2.61dane 3019 1 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹‘(𝑁𝑋)) = (𝐹𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   · cmul 10153  cle 10287  2c2 11282  cexp 13074  Basecbs 16079  .rcmulr 16164  0gc0g 16322  Grpcgrp 17643  invgcminusg 17644  1rcur 18721  Ringcrg 18767  AbsValcabv 19038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-ico 12394  df-seq 13016  df-exp 13075  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-plusg 16176  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-abv 19039
This theorem is referenced by:  abvsubtri  19057  ostthlem1  25536  ostth3  25547
  Copyright terms: Public domain W3C validator