MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvdiv 19047
Description: The absolute value distributes under division. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvneg.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvrec.z 0 = (0g𝑅)
abvdiv.p / = (/r𝑅)
Assertion
Ref Expression
abvdiv (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = ((𝐹𝑋) / (𝐹𝑌)))

Proof of Theorem abvdiv
StepHypRef Expression
1 simplr 752 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → 𝐹𝐴)
2 simpr1 1233 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → 𝑋𝐵)
3 simpll 750 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → 𝑅 ∈ DivRing)
4 simpr2 1235 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → 𝑌𝐵)
5 simpr3 1237 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → 𝑌0 )
6 abvneg.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
7 abvrec.z . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
8 eqid 2771 . . . . . 6 (invr𝑅) = (invr𝑅)
96, 7, 8drnginvrcl 18974 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑌𝐵𝑌0 ) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
103, 4, 5, 9syl3anc 1476 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
11 abv0.a . . . . 5 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
12 eqid 2771 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
1311, 6, 12abvmul 19039 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑋𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌))) = ((𝐹𝑋) · (𝐹‘((invr𝑅)‘𝑌))))
141, 2, 10, 13syl3anc 1476 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹‘(𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌))) = ((𝐹𝑋) · (𝐹‘((invr𝑅)‘𝑌))))
1511, 6, 7, 8abvrec 19046 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹‘((invr𝑅)‘𝑌)) = (1 / (𝐹𝑌)))
16153adantr1 1174 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹‘((invr𝑅)‘𝑌)) = (1 / (𝐹𝑌)))
1716oveq2d 6812 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → ((𝐹𝑋) · (𝐹‘((invr𝑅)‘𝑌))) = ((𝐹𝑋) · (1 / (𝐹𝑌))))
1814, 17eqtrd 2805 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹‘(𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌))) = ((𝐹𝑋) · (1 / (𝐹𝑌))))
19 eqid 2771 . . . . . . 7 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
206, 19, 7drngunit 18962 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing → (𝑌 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑌𝐵𝑌0 )))
213, 20syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝑌 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑌𝐵𝑌0 )))
224, 5, 21mpbir2and 692 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → 𝑌 ∈ (Unit‘𝑅))
23 abvdiv.p . . . . 5 / = (/r𝑅)
246, 12, 19, 8, 23dvrval 18893 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌)))
252, 22, 24syl2anc 573 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌)))
2625fveq2d 6337 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌))))
2711, 6abvcl 19034 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
281, 2, 27syl2anc 573 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
2928recnd 10274 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹𝑋) ∈ ℂ)
3011, 6abvcl 19034 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑌𝐵) → (𝐹𝑌) ∈ ℝ)
311, 4, 30syl2anc 573 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹𝑌) ∈ ℝ)
3231recnd 10274 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹𝑌) ∈ ℂ)
3311, 6, 7abvne0 19037 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑌𝐵𝑌0 ) → (𝐹𝑌) ≠ 0)
341, 4, 5, 33syl3anc 1476 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹𝑌) ≠ 0)
3529, 32, 34divrecd 11010 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → ((𝐹𝑋) / (𝐹𝑌)) = ((𝐹𝑋) · (1 / (𝐹𝑌))))
3618, 26, 353eqtr4d 2815 1 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = ((𝐹𝑋) / (𝐹𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cfv 6030  (class class class)co 6796  cr 10141  0cc0 10142  1c1 10143   · cmul 10147   / cdiv 10890  Basecbs 16064  .rcmulr 16150  0gc0g 16308  Unitcui 18847  invrcinvr 18879  /rcdvr 18890  DivRingcdr 18957  AbsValcabv 19026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-tpos 7508  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-ico 12386  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-drng 18959  df-abv 19027
This theorem is referenced by:  ostthlem1  25537
  Copyright terms: Public domain W3C validator