MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvcxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvcxp 25424
Description: Raising an absolute value to a power less than one yields another absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvcxp.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvcxp.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvcxp.f 𝐺 = (𝑥𝐵 ↦ ((𝐹𝑥)↑𝑐𝑆))
Assertion
Ref Expression
abvcxp ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐺𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem abvcxp
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvcxp.a . . 3 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
21a1i 11 . 2 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐴 = (AbsVal‘𝑅))
3 abvcxp.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
43a1i 11 . 2 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
5 eqidd 2725 . 2 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (+g𝑅) = (+g𝑅))
6 eqidd 2725 . 2 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (.r𝑅) = (.r𝑅))
7 eqidd 2725 . 2 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (0g𝑅) = (0g𝑅))
81abvrcl 18944 . . 3 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Ring)
98adantr 472 . 2 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑅 ∈ Ring)
101, 3abvcl 18947 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑥𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1110adantlr 753 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
121, 3abvge0 18948 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑥𝐵) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
1312adantlr 753 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥𝐵) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
14 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑆 ∈ (0(,]1))
15 0xr 10199 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
16 1re 10152 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
17 elioc2 12350 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑆 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆𝑆 ≤ 1)))
1815, 16, 17mp2an 710 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆𝑆 ≤ 1))
1914, 18sylib 208 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆𝑆 ≤ 1))
2019simp1d 1134 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑆 ∈ ℝ)
2120adantr 472 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑆 ∈ ℝ)
2211, 13, 21recxpcld 24589 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝐹𝑥)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
23 abvcxp.f . . 3 𝐺 = (𝑥𝐵 ↦ ((𝐹𝑥)↑𝑐𝑆))
2422, 23fmptd 6500 . 2 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐺:𝐵⟶ℝ)
25 eqid 2724 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
263, 25ring0cl 18690 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
279, 26syl 17 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
28 fveq2 6304 . . . . . 6 (𝑥 = (0g𝑅) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(0g𝑅)))
2928oveq1d 6780 . . . . 5 (𝑥 = (0g𝑅) → ((𝐹𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘(0g𝑅))↑𝑐𝑆))
30 ovex 6793 . . . . 5 ((𝐹‘(0g𝑅))↑𝑐𝑆) ∈ V
3129, 23, 30fvmpt 6396 . . . 4 ((0g𝑅) ∈ 𝐵 → (𝐺‘(0g𝑅)) = ((𝐹‘(0g𝑅))↑𝑐𝑆))
3227, 31syl 17 . . 3 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝐺‘(0g𝑅)) = ((𝐹‘(0g𝑅))↑𝑐𝑆))
331, 25abv0 18954 . . . . . 6 (𝐹𝐴 → (𝐹‘(0g𝑅)) = 0)
3433adantr 472 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(0g𝑅)) = 0)
3534oveq1d 6780 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹‘(0g𝑅))↑𝑐𝑆) = (0↑𝑐𝑆))
3620recnd 10181 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑆 ∈ ℂ)
3719simp2d 1135 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 0 < 𝑆)
3837gt0ne0d 10705 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑆 ≠ 0)
3936, 380cxpd 24576 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (0↑𝑐𝑆) = 0)
4035, 39eqtrd 2758 . . 3 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹‘(0g𝑅))↑𝑐𝑆) = 0)
4132, 40eqtrd 2758 . 2 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝐺‘(0g𝑅)) = 0)
42 simp1l 1216 . . . . . . 7 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → 𝐹𝐴)
43 simp2 1129 . . . . . . 7 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → 𝑦𝐵)
441, 3abvcl 18947 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑦𝐵) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
4542, 43, 44syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
461, 3, 25abvgt0 18951 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → 0 < (𝐹𝑦))
47463adant1r 1168 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → 0 < (𝐹𝑦))
4845, 47elrpd 11983 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ+)
49203ad2ant1 1125 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → 𝑆 ∈ ℝ)
5048, 49rpcxpcld 24596 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → ((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ+)
5150rpgt0d 11989 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → 0 < ((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆))
52 fveq2 6304 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
5352oveq1d 6780 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆))
54 ovex 6793 . . . . 5 ((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) ∈ V
5553, 23, 54fvmpt 6396 . . . 4 (𝑦𝐵 → (𝐺𝑦) = ((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆))
5643, 55syl 17 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → (𝐺𝑦) = ((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆))
5751, 56breqtrrd 4788 . 2 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → 0 < (𝐺𝑦))
58 simp1l 1216 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝐹𝐴)
59 simp2l 1218 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝑦𝐵)
60 simp3l 1220 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝑧𝐵)
61 eqid 2724 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
621, 3, 61abvmul 18952 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧)))
6358, 59, 60, 62syl3anc 1439 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧)))
6463oveq1d 6780 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) = (((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧))↑𝑐𝑆))
6558, 59, 44syl2anc 696 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
661, 3abvge0 18948 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑦𝐵) → 0 ≤ (𝐹𝑦))
6758, 59, 66syl2anc 696 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 0 ≤ (𝐹𝑦))
681, 3abvcl 18947 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑧𝐵) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
6958, 60, 68syl2anc 696 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
701, 3abvge0 18948 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑧𝐵) → 0 ≤ (𝐹𝑧))
7158, 60, 70syl2anc 696 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 0 ≤ (𝐹𝑧))
72363ad2ant1 1125 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝑆 ∈ ℂ)
7365, 67, 69, 71, 72mulcxpd 24594 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧))↑𝑐𝑆) = (((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) · ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆)))
7464, 73eqtrd 2758 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) = (((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) · ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆)))
7593ad2ant1 1125 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝑅 ∈ Ring)
763, 61ringcl 18682 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
7775, 59, 60, 76syl3anc 1439 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
78 fveq2 6304 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦(.r𝑅)𝑧) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)))
7978oveq1d 6780 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦(.r𝑅)𝑧) → ((𝐹𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
80 ovex 6793 . . . . 5 ((𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ V
8179, 23, 80fvmpt 6396 . . . 4 ((𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐺‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
8277, 81syl 17 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
8359, 55syl 17 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐺𝑦) = ((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆))
84 fveq2 6304 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
8584oveq1d 6780 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆))
86 ovex 6793 . . . . . 6 ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆) ∈ V
8785, 23, 86fvmpt 6396 . . . . 5 (𝑧𝐵 → (𝐺𝑧) = ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆))
8860, 87syl 17 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐺𝑧) = ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆))
8983, 88oveq12d 6783 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐺𝑦) · (𝐺𝑧)) = (((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) · ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆)))
9074, 82, 893eqtr4d 2768 . 2 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐺𝑦) · (𝐺𝑧)))
91 ringgrp 18673 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
9275, 91syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝑅 ∈ Grp)
93 eqid 2724 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑅)
943, 93grpcl 17552 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
9592, 59, 60, 94syl3anc 1439 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
961, 3abvcl 18947 . . . . . 6 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) ∈ ℝ)
9758, 95, 96syl2anc 696 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) ∈ ℝ)
981, 3abvge0 18948 . . . . . 6 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)))
9958, 95, 98syl2anc 696 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)))
100193ad2ant1 1125 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆𝑆 ≤ 1))
101100simp1d 1134 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝑆 ∈ ℝ)
10297, 99, 101recxpcld 24589 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
10365, 69readdcld 10182 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
10465, 69, 67, 71addge0d 10716 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 0 ≤ ((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧)))
105103, 104, 101recxpcld 24589 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
10665, 67, 101recxpcld 24589 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
10769, 71, 101recxpcld 24589 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
108106, 107readdcld 10182 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆)) ∈ ℝ)
1091, 3, 93abvtri 18953 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧)))
11058, 59, 60, 109syl3anc 1439 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧)))
111100simp2d 1135 . . . . . . 7 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 0 < 𝑆)
112101, 111elrpd 11983 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝑆 ∈ ℝ+)
11397, 99, 103, 104, 112cxple2d 24593 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧)) ↔ ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧))↑𝑐𝑆)))
114110, 113mpbid 222 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧))↑𝑐𝑆))
115100simp3d 1136 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝑆 ≤ 1)
11665, 67, 69, 71, 112, 115cxpaddle 24613 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆)))
117102, 105, 108, 114, 116letrd 10307 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆)))
118 fveq2 6304 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦(+g𝑅)𝑧) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)))
119118oveq1d 6780 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦(+g𝑅)𝑧) → ((𝐹𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
120 ovex 6793 . . . . 5 ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ V
121119, 23, 120fvmpt 6396 . . . 4 ((𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐺‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
12295, 121syl 17 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
12383, 88oveq12d 6783 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐺𝑦) + (𝐺𝑧)) = (((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆)))
124117, 122, 1233brtr4d 4792 . 2 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐺𝑦) + (𝐺𝑧)))
1252, 4, 5, 6, 7, 9, 24, 41, 57, 90, 124isabvd 18943 1 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐺𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896   class class class wbr 4760  cmpt 4837  cfv 6001  (class class class)co 6765  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   · cmul 10054  *cxr 10186   < clt 10187  cle 10188  (,]cioc 12290  Basecbs 15980  +gcplusg 16064  .rcmulr 16065  0gc0g 16223  Grpcgrp 17544  Ringcrg 18668  AbsValcabv 18939  𝑐ccxp 24422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-ioc 12294  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-mod 12784  df-seq 12917  df-exp 12976  df-fac 13176  df-bc 13205  df-hash 13233  df-shft 13927  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-limsup 14322  df-clim 14339  df-rlim 14340  df-sum 14537  df-ef 14918  df-sin 14920  df-cos 14921  df-pi 14923  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-prds 16231  df-xrs 16285  df-qtop 16290  df-imas 16291  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-grp 17547  df-minusg 17548  df-mulg 17663  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-mgp 18611  df-ring 18670  df-abv 18940  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-lp 21063  df-perf 21064  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-haus 21242  df-tx 21488  df-hmeo 21681  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-xms 22247  df-ms 22248  df-tms 22249  df-cncf 22803  df-limc 23750  df-dv 23751  df-log 24423  df-cxp 24424
This theorem is referenced by:  ostth2  25446  ostth  25448
  Copyright terms: Public domain W3C validator