MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abv1z Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abv1z 19054
Description: The absolute value of one is one in a non-trivial ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abv1.p 1 = (1r𝑅)
abv1z.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
abv1z ((𝐹𝐴10 ) → (𝐹1 ) = 1)

Proof of Theorem abv1z
StepHypRef Expression
1 abv0.a . . . . . . . 8 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
21abvrcl 19043 . . . . . . 7 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Ring)
3 eqid 2760 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 abv1.p . . . . . . . 8 1 = (1r𝑅)
53, 4ringidcl 18788 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
62, 5syl 17 . . . . . 6 (𝐹𝐴1 ∈ (Base‘𝑅))
71, 3abvcl 19046 . . . . . 6 ((𝐹𝐴1 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹1 ) ∈ ℝ)
86, 7mpdan 705 . . . . 5 (𝐹𝐴 → (𝐹1 ) ∈ ℝ)
98adantr 472 . . . 4 ((𝐹𝐴10 ) → (𝐹1 ) ∈ ℝ)
109recnd 10280 . . 3 ((𝐹𝐴10 ) → (𝐹1 ) ∈ ℂ)
11 simpl 474 . . . 4 ((𝐹𝐴10 ) → 𝐹𝐴)
126adantr 472 . . . 4 ((𝐹𝐴10 ) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
13 simpr 479 . . . 4 ((𝐹𝐴10 ) → 10 )
14 abv1z.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
151, 3, 14abvne0 19049 . . . 4 ((𝐹𝐴1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 10 ) → (𝐹1 ) ≠ 0)
1611, 12, 13, 15syl3anc 1477 . . 3 ((𝐹𝐴10 ) → (𝐹1 ) ≠ 0)
1710, 10, 16divcan3d 11018 . 2 ((𝐹𝐴10 ) → (((𝐹1 ) · (𝐹1 )) / (𝐹1 )) = (𝐹1 ))
182adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴10 ) → 𝑅 ∈ Ring)
19 eqid 2760 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
203, 19, 4ringlidm 18791 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r𝑅) 1 ) = 1 )
2118, 12, 20syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝐹𝐴10 ) → ( 1 (.r𝑅) 1 ) = 1 )
2221fveq2d 6357 . . . . 5 ((𝐹𝐴10 ) → (𝐹‘( 1 (.r𝑅) 1 )) = (𝐹1 ))
231, 3, 19abvmul 19051 . . . . . 6 ((𝐹𝐴1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘( 1 (.r𝑅) 1 )) = ((𝐹1 ) · (𝐹1 )))
2411, 12, 12, 23syl3anc 1477 . . . . 5 ((𝐹𝐴10 ) → (𝐹‘( 1 (.r𝑅) 1 )) = ((𝐹1 ) · (𝐹1 )))
2522, 24eqtr3d 2796 . . . 4 ((𝐹𝐴10 ) → (𝐹1 ) = ((𝐹1 ) · (𝐹1 )))
2625oveq1d 6829 . . 3 ((𝐹𝐴10 ) → ((𝐹1 ) / (𝐹1 )) = (((𝐹1 ) · (𝐹1 )) / (𝐹1 )))
2710, 16dividd 11011 . . 3 ((𝐹𝐴10 ) → ((𝐹1 ) / (𝐹1 )) = 1)
2826, 27eqtr3d 2796 . 2 ((𝐹𝐴10 ) → (((𝐹1 ) · (𝐹1 )) / (𝐹1 )) = 1)
2917, 28eqtr3d 2796 1 ((𝐹𝐴10 ) → (𝐹1 ) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  cfv 6049  (class class class)co 6814  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   · cmul 10153   / cdiv 10896  Basecbs 16079  .rcmulr 16164  0gc0g 16322  1rcur 18721  Ringcrg 18767  AbsValcabv 19038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-ico 12394  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-plusg 16176  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-abv 19039
This theorem is referenced by:  abv1  19055  abvneg  19056  nm1  22692  qabvle  25534  qabvexp  25535  ostthlem2  25537  ostth3  25547  ostth  25548
  Copyright terms: Public domain W3C validator