MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absval 14186
Description: The absolute value (modulus) of a complex number. Proposition 10-3.7(a) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 27-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
absval (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))

Proof of Theorem absval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6332 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (∗‘𝑥) = (∗‘𝐴))
2 oveq12 6802 . . . 4 ((𝑥 = 𝐴 ∧ (∗‘𝑥) = (∗‘𝐴)) → (𝑥 · (∗‘𝑥)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
31, 2mpdan 667 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 · (∗‘𝑥)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
43fveq2d 6336 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
5 df-abs 14184 . 2 abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
6 fvex 6342 . 2 (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ V
74, 5, 6fvmpt 6424 1 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136   · cmul 10143  ccj 14044  csqrt 14181  abscabs 14182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pr 5034
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fv 6039  df-ov 6796  df-abs 14184
This theorem is referenced by:  absneg  14225  abscl  14226  abscj  14227  absvalsq  14228  absval2  14232  abs0  14233  absi  14234  absge0  14235  absrpcl  14236  absmul  14242  absid  14244  absre  14249  absf  14285  cphabscl  23204  cphipipcj  23219  tchcphlem2  23254  siii  28048  norm-iii-i  28336  absfico  39928
  Copyright terms: Public domain W3C validator