Theorem abssubne0 14264

Description: If the absolute value of a complex number is less than a real, its difference from the real is nonzero. (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
abssubne0	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)

Proof of Theorem abssubne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 752	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	recnd 10270	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
3		simpll 750	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		abscl 14226	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
6		abscl 14226	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
7	2, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
8		simpr 471	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → (abs‘𝐴) < 𝐵)
9		leabs 14247	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≤ (abs‘𝐵))
10	1, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → 𝐵 ≤ (abs‘𝐵))
11	5, 1, 7, 8, 10	ltletrd 10399	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → (abs‘𝐴) < (abs‘𝐵))
12	5, 11	gtned 10374	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → (abs‘𝐵) ≠ (abs‘𝐴))
13		fveq2 6332	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (abs‘𝐵) = (abs‘𝐴))
14	13	necon3i 2975	. . . 4 ⊢ ((abs‘𝐵) ≠ (abs‘𝐴) → 𝐵 ≠ 𝐴)
15	12, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
16	2, 3, 15	subne0d 10603	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)
17	16	3impa 1100	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943   class class class wbr 4786  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ℂcc 10136  ℝcr 10137  0cc0 10138   < clt 10276   ≤ cle 10277   − cmin 10468  abscabs 14182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184

This theorem is referenced by:  binomcxplemnotnn0  39081