MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abssubd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abssubd 14383
Description: Swapping order of subtraction doesn't change the absolute value. Example of [Apostol] p. 363. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
abscld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
abssubd (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐵𝐴)))

Proof of Theorem abssubd
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 abssubd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 abssub 14257 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐵𝐴)))
41, 2, 3syl2anc 696 1 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1624  wcel 2131  cfv 6041  (class class class)co 6805  cc 10118  cmin 10450  abscabs 14165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-po 5179  df-so 5180  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-2 11263  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-abs 14167
This theorem is referenced by:  rlimuni  14472  climuni  14474  2clim  14494  rlimrecl  14502  subcn2  14516  reccn2  14518  climcau  14592  caucvgrlem  14594  serf0  14602  mertenslem2  14808  xrsxmet  22805  elcncf2  22886  cnllycmp  22948  dvlip  23947  c1lip1  23951  dvfsumrlim2  23986  dvfsum2  23988  ftc1a  23991  aalioulem3  24280  ulmcaulem  24339  ulmcau  24340  ulmbdd  24343  ulmcn  24344  ulmdvlem1  24345  logcnlem4  24582  ssscongptld  24743  chordthmlem3  24752  chordthmlem4  24753  lgamucov  24955  ftalem2  24991  logfacrlim  25140  dchrisumlem3  25371  dchrisum0lem1b  25395  mulog2sumlem2  25415  pntrlog2bndlem3  25459  smcnlem  27853  qqhucn  30337  dnibndlem2  32767  dnibndlem6  32771  dnibndlem8  32773  dnibnd  32779  unbdqndv2lem1  32798  knoppndvlem10  32810  knoppndvlem15  32815  ftc1anclem8  33797  irrapxlem3  37882  irrapxlem5  37884  pell14qrgt0  37917  acongeq  38044  absimlere  40200  limcrecl  40356  islpcn  40366  lptre2pt  40367  0ellimcdiv  40376  limclner  40378  dvbdfbdioolem2  40639  ioodvbdlimc1lem1  40641  ioodvbdlimc1lem2  40642  ioodvbdlimc2lem  40644  fourierdlem42  40861  ioorrnopnlem  41019  smflimlem4  41480
  Copyright terms: Public domain W3C validator