MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abssinper Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abssinper 24490
Description: The absolute value of sine has period π. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
abssinper ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (𝐾 · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))

Proof of Theorem abssinper
StepHypRef Expression
1 zcn 11583 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
2 halfcl 11458 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 / 2) ∈ ℂ)
3 2cn 11292 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
4 picn 24431 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℂ
5 mulass 10225 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (((𝐾 / 2) · 2) · π) = ((𝐾 / 2) · (2 · π)))
63, 4, 5mp3an23 1563 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 / 2) ∈ ℂ → (((𝐾 / 2) · 2) · π) = ((𝐾 / 2) · (2 · π)))
72, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 / 2) · 2) · π) = ((𝐾 / 2) · (2 · π)))
8 2ne0 11314 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
9 divcan1 10895 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((𝐾 / 2) · 2) = 𝐾)
103, 8, 9mp3an23 1563 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 / 2) · 2) = 𝐾)
1110oveq1d 6807 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 / 2) · 2) · π) = (𝐾 · π))
127, 11eqtr3d 2806 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 / 2) · (2 · π)) = (𝐾 · π))
131, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 / 2) · (2 · π)) = (𝐾 · π))
1413adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 / 2) · (2 · π)) = (𝐾 · π))
1514oveq2d 6808 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π))) = (𝐴 + (𝐾 · π)))
1615fveq2d 6336 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π)))) = (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))))
1716eqcomd 2776 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = (sin‘(𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π)))))
1817adantr 466 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = (sin‘(𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π)))))
19 sinper 24453 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π)))) = (sin‘𝐴))
2019adantlr 686 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + ((𝐾 / 2) · (2 · π)))) = (sin‘𝐴))
2118, 20eqtrd 2804 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = (sin‘𝐴))
2221fveq2d 6336 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 / 2) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (𝐾 · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
23 peano2cn 10409 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 + 1) ∈ ℂ)
24 halfcl 11458 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 + 1) ∈ ℂ → ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℂ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℂ)
263, 4mulcli 10246 . . . . . . . . . . 11 (2 · π) ∈ ℂ
27 mulcl 10221 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ) → (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) ∈ ℂ)
2825, 26, 27sylancl 566 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) ∈ ℂ)
29 subadd23 10494 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) ∈ ℂ) → ((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π))) = (𝐴 + ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π)))
304, 29mp3an2 1559 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) ∈ ℂ) → ((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π))) = (𝐴 + ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π)))
3128, 30sylan2 572 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π))) = (𝐴 + ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π)))
32 divcan1 10895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (((𝐾 + 1) / 2) · 2) = (𝐾 + 1))
333, 8, 32mp3an23 1563 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 + 1) ∈ ℂ → (((𝐾 + 1) / 2) · 2) = (𝐾 + 1))
3423, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 + 1) / 2) · 2) = (𝐾 + 1))
3534oveq1d 6807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π) = ((𝐾 + 1) · π))
36 ax-1cn 10195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℂ
37 adddir 10232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) · π) = ((𝐾 · π) + (1 · π)))
3836, 4, 37mp3an23 1563 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 + 1) · π) = ((𝐾 · π) + (1 · π)))
3935, 38eqtrd 2804 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π) = ((𝐾 · π) + (1 · π)))
404mulid2i 10244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 · π) = π
4140oveq2i 6803 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 · π) + (1 · π)) = ((𝐾 · π) + π)
4239, 41syl6req 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 · π) + π) = ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π))
43 mulass 10225 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π) = (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))
443, 4, 43mp3an23 1563 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π) = (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))
4525, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · 2) · π) = (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))
4642, 45eqtr2d 2805 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) = ((𝐾 · π) + π))
4746oveq1d 6807 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π) = (((𝐾 · π) + π) − π))
48 mulcl 10221 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝐾 · π) ∈ ℂ)
494, 48mpan2 663 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 · π) ∈ ℂ)
50 pncan 10488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 · π) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (((𝐾 · π) + π) − π) = (𝐾 · π))
5149, 4, 50sylancl 566 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℂ → (((𝐾 · π) + π) − π) = (𝐾 · π))
5247, 51eqtrd 2804 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℂ → ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π) = (𝐾 · π))
5352adantl 467 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π) = (𝐾 · π))
5453oveq2d 6808 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐴 + ((((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)) − π)) = (𝐴 + (𝐾 · π)))
5531, 54eqtr2d 2805 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐾 · π)) = ((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π))))
561, 55sylan2 572 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 + (𝐾 · π)) = ((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π))))
5756fveq2d 6336 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))))
5857adantr 466 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))))
59 subcl 10481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝐴 − π) ∈ ℂ)
604, 59mpan2 663 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − π) ∈ ℂ)
61 sinper 24453 . . . . . . . 8 (((𝐴 − π) ∈ ℂ ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))) = (sin‘(𝐴 − π)))
6260, 61sylan 561 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))) = (sin‘(𝐴 − π)))
6362adantlr 686 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))) = (sin‘(𝐴 − π)))
64 sinmpi 24459 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 − π)) = -(sin‘𝐴))
6564ad2antrr 697 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 − π)) = -(sin‘𝐴))
6663, 65eqtrd 2804 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘((𝐴 − π) + (((𝐾 + 1) / 2) · (2 · π)))) = -(sin‘𝐴))
6758, 66eqtrd 2804 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (sin‘(𝐴 + (𝐾 · π))) = -(sin‘𝐴))
6867fveq2d 6336 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (𝐾 · π)))) = (abs‘-(sin‘𝐴)))
69 sincl 15061 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
7069absnegd 14395 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘𝐴)))
7170ad2antrr 697 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘-(sin‘𝐴)) = (abs‘(sin‘𝐴)))
7268, 71eqtrd 2804 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (𝐾 · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
73 zeo 11664 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ))
7473adantl 467 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝐾 + 1) / 2) ∈ ℤ))
7522, 72, 74mpjaodan 939 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (𝐾 · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wo 826   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  cfv 6031  (class class class)co 6792  cc 10135  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142  cmin 10467  -cneg 10468   / cdiv 10885  2c2 11271  cz 11578  abscabs 14181  sincsin 14999  πcpi 15002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-shft 14014  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-limsup 14409  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-sum 14624  df-ef 15003  df-sin 15005  df-cos 15006  df-pi 15008  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-pt 16312  df-prds 16315  df-xrs 16369  df-qtop 16374  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-mulg 17748  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-nei 21122  df-lp 21160  df-perf 21161  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-haus 21339  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-xms 22344  df-ms 22345  df-tms 22346  df-cncf 22900  df-limc 23849  df-dv 23850
This theorem is referenced by:  sinkpi  24491  sineq0  24493  sineq0ALT  39689
  Copyright terms: Public domain W3C validator