Theorem abssinbd 40027

Description: Bound for the absolute value of the sine of a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
abssinbd	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(sin‘𝐴)) ≤ 1)

Proof of Theorem abssinbd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sinbnd 15121	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) ≤ 1))
2		resincl 15081	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
3		1red 10255	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
4	2, 3	absled 14380	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘(sin‘𝐴)) ≤ 1 ↔ (-1 ≤ (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) ≤ 1)))
5	1, 4	mpbird 247	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(sin‘𝐴)) ≤ 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2143   class class class wbr 4783  ‘cfv 6030  ℝcr 10135  1c1 10137   ≤ cle 10275  -cneg 10467  abscabs 14185  sincsin 15005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214  ax-addf 10215  ax-mulf 10216

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-fal 1635  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rmo 3067  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-int 4609  df-iun 4653  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-se 5208  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-pm 8010  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-sup 8502  df-inf 8503  df-oi 8569  df-card 8963  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11888  df-rp 12035  df-ico 12385  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13268  df-bc 13297  df-hash 13325  df-shft 14018  df-cj 14050  df-re 14051  df-im 14052  df-sqrt 14186  df-abs 14187  df-limsup 14413  df-clim 14430  df-rlim 14431  df-sum 14628  df-ef 15009  df-sin 15011  df-cos 15012

This theorem is referenced by:  fourierdlem21  40863  fourierdlem22  40864  fourierdlem39  40881  fourierdlem68  40909  fourierdlem83  40924  fourierdlem87  40928