Theorem absproddvds 15377

Description: The absolute value of the product of the elements of a finite subset of the integers is divisible by each element of this subset. (Contributed by AV, 21-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
absproddvds.s	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℤ)
absproddvds.f	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Fin)
absproddvds.p	⊢ 𝑃 = (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧)

Assertion

Ref	Expression
absproddvds	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑃)

Distinct variable groups:   𝑧,𝑍   𝜑,𝑚,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑧,𝑚)   𝑍(𝑚)

Proof of Theorem absproddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absproddvds.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Fin)
2		absproddvds.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℤ)
3	1, 2	fproddvdsd 15106	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧)
4	2	sselda 3636	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ ℤ)
5	2	sselda 3636	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) → 𝑧 ∈ ℤ)
6	1, 5	fprodzcl 14728	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 ∈ ℤ)
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 ∈ ℤ)
8		dvdsabsb 15048	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑚 ∥ ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 ↔ 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧)))
9	4, 7, 8	syl2anc 694	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑚 ∥ ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 ↔ 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧)))
10	9	biimpd 219	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑚 ∥ ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 → 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧)))
11	10	ralimdva 2991	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ ∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧)))
12	3, 11	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧))
13		absproddvds.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧)
14	13	breq2i 4693	. . 3 ⊢ (𝑚 ∥ 𝑃 ↔ 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧))
15	14	ralbii 3009	. 2 ⊢ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑃 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ (abs‘∏𝑧 ∈ 𝑍 𝑧))
16	12, 15	sylibr 224	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  Fincfn 7997  ℤcz 11415  abscabs 14018  ∏cprod 14679   ∥ cdvds 15027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-prod 14680  df-dvds 15028

This theorem is referenced by:  fissn0dvds  15379