Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  absnpncan3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absnpncan3d 40039
Description: Triangular inequality, combined with cancellation law for subtraction (applied three times). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
absnpncan3d.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
absnpncan3d.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
absnpncan3d.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
absnpncan3d.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
absnpncan3d.e (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
absnpncan3d (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐸)) ≤ ((((abs‘(𝐴𝐵)) + (abs‘(𝐵𝐶))) + (abs‘(𝐶𝐷))) + (abs‘(𝐷𝐸))))

Proof of Theorem absnpncan3d
StepHypRef Expression
1 absnpncan3d.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 absnpncan3d.e . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
31, 2subcld 10605 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐸) ∈ ℂ)
43abscld 14395 . 2 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐸)) ∈ ℝ)
5 absnpncan3d.d . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
61, 5subcld 10605 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐷) ∈ ℂ)
76abscld 14395 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐷)) ∈ ℝ)
85, 2subcld 10605 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐸) ∈ ℂ)
98abscld 14395 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝐷𝐸)) ∈ ℝ)
107, 9readdcld 10282 . 2 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐷)) + (abs‘(𝐷𝐸))) ∈ ℝ)
11 absnpncan3d.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
121, 11subcld 10605 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
1312abscld 14395 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
14 absnpncan3d.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1511, 14subcld 10605 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
1615abscld 14395 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
1713, 16readdcld 10282 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) + (abs‘(𝐵𝐶))) ∈ ℝ)
1814, 5subcld 10605 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝐷) ∈ ℂ)
1918abscld 14395 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐶𝐷)) ∈ ℝ)
2017, 19readdcld 10282 . . 3 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) + (abs‘(𝐵𝐶))) + (abs‘(𝐶𝐷))) ∈ ℝ)
2120, 9readdcld 10282 . 2 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴𝐵)) + (abs‘(𝐵𝐶))) + (abs‘(𝐶𝐷))) + (abs‘(𝐷𝐸))) ∈ ℝ)
221, 5, 2absnpncand 40026 . 2 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐸)) ≤ ((abs‘(𝐴𝐷)) + (abs‘(𝐷𝐸))))
231, 11, 14, 5absnpncan2d 40034 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐷)) ≤ (((abs‘(𝐴𝐵)) + (abs‘(𝐵𝐶))) + (abs‘(𝐶𝐷))))
247, 20, 9, 23leadd1dd 10854 . 2 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐷)) + (abs‘(𝐷𝐸))) ≤ ((((abs‘(𝐴𝐵)) + (abs‘(𝐵𝐶))) + (abs‘(𝐶𝐷))) + (abs‘(𝐷𝐸))))
254, 10, 21, 22, 24letrd 10407 1 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐸)) ≤ ((((abs‘(𝐴𝐵)) + (abs‘(𝐵𝐶))) + (abs‘(𝐶𝐷))) + (abs‘(𝐷𝐸))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2140   class class class wbr 4805  cfv 6050  (class class class)co 6815  cc 10147   + caddc 10152  cle 10288  cmin 10479  abscabs 14194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-sup 8516  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-seq 13017  df-exp 13076  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196
This theorem is referenced by:  limclner  40405
  Copyright terms: Public domain W3C validator