MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absnegd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absnegd 14407
Description: Absolute value of negative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
absnegd (𝜑 → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absnegd
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 absneg 14236 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  cfv 6049  cc 10146  -cneg 10479  abscabs 14193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-2 11291  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-abs 14195
This theorem is referenced by:  abelthlem8  24412  tanabsge  24478  abssinper  24490  cxpcn3  24709  abscxpbnd  24714  cosangneg2d  24757  chordthmlem  24779  atantayl  24884  lgamgulmlem2  24976  lgambdd  24983  lgsneg  25266  pntibndlem2  25500  poimirlem29  33769  bddiblnc  33811  ftc1anclem8  33823  binomcxplemnotnn0  39075  neglimc  40400  stirlinglem5  40816  fourierdlem30  40875  fourierdlem39  40884  fourierdlem47  40891  fourierdlem73  40917  etransclem41  41013  hoicvr  41286
  Copyright terms: Public domain W3C validator