MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absmuld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absmuld 14412
Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
abscld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
absmuld (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absmuld
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 abssubd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 absmul 14253 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
41, 2, 3syl2anc 696 1 (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146   · cmul 10153  abscabs 14193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195
This theorem is referenced by:  mulcn2  14545  reccn2  14546  o1mul  14564  o1rlimmul  14568  iseraltlem3  14633  geomulcvg  14826  mertenslem1  14835  fprodabs  14923  absef  15146  efieq1re  15148  lcmgcd  15542  lcmid  15544  mulgcddvds  15591  prmirredlem  20063  blcvx  22822  iblmulc2  23816  itgabs  23820  bddmulibl  23824  dveflem  23961  dvlip  23975  dvlipcn  23976  plyeq0lem  24185  aalioulem4  24309  radcnvlem1  24386  dvradcnv  24394  pserulm  24395  abelthlem5  24408  abelthlem7  24411  abslogle  24584  logtayllem  24625  abscxpbnd  24714  chordthmlem4  24782  divsqrtsumo1  24930  lgamgulmlem2  24976  lgamgulmlem3  24977  lgamgulmlem5  24979  ftalem1  25019  ftalem2  25020  ftalem5  25023  logexprlim  25170  lgsdilem2  25278  2sqlem3  25365  dchrisumlem2  25399  dchrmusum2  25403  dchrvmasumlem3  25408  dchrvmasumiflem1  25410  dchrisum0lem2a  25426  dchrisum0lem2  25427  mudivsum  25439  mulogsumlem  25440  mulog2sumlem1  25443  mulog2sumlem2  25444  2vmadivsumlem  25449  selberglem2  25455  selberg3lem1  25466  selberg4lem1  25469  pntrlog2bndlem1  25486  pntrlog2bndlem3  25488  pntibndlem2  25500  pntlemn  25509  pntlemj  25512  nmbdfnlbi  29238  nmcfnlbi  29241  bhmafibid1  29974  cnzh  30344  rezh  30345  subfaclim  31498  knoppcnlem4  32813  knoppndvlem11  32840  knoppndvlem14  32843  iblmulc2nc  33806  itgabsnc  33810  cntotbnd  33926  irrapxlem2  37907  irrapxlem5  37910  pellexlem2  37914  absmulrposd  38977  imo72b2lem0  38985  radcnvrat  39033  fprodabs2  40348  dvdivbd  40659  dvbdfbdioolem1  40664  fourierdlem30  40875  fourierdlem39  40884  fourierdlem47  40891  fourierdlem68  40912  fourierdlem73  40917  fourierdlem77  40921  fourierdlem87  40931  etransclem23  40995  smfmullem1  41522
  Copyright terms: Public domain W3C validator