MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absidd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absidd 14352
Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrcld.2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
absidd (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem absidd
StepHypRef Expression
1 resqrcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 resqrcld.2 . 2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3 absid 14227 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
41, 2, 3syl2anc 696 1 (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1624  wcel 2131   class class class wbr 4796  cfv 6041  cr 10119  0cc0 10120  cle 10259  abscabs 14165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8505  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-rp 12018  df-seq 12988  df-exp 13047  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167
This theorem is referenced by:  rlimno1  14575  iseralt  14606  cvgcmpce  14741  divrcnv  14775  geomulcvg  14798  cvgrat  14806  mertenslem2  14808  eftabs  14997  efcllem  14999  efaddlem  15014  eftlub  15030  eflegeo  15042  ef01bndlem  15105  absef  15118  efieq1re  15120  dvdseq  15230  divalg2  15322  nn0gcdid0  15436  absmulgcd  15460  gcdmultiple  15463  gcdmultiplez  15464  lcmgcdlem  15513  mulgcddvds  15563  phibndlem  15669  dfphi2  15673  mul4sqlem  15851  4sqlem11  15853  prmirredlem  20035  prmirred  20037  blcvx  22794  reperflem  22814  reconnlem2  22823  nmoleub2lem3  23107  nmoleub3  23111  tchcphlem1  23226  iscmet3lem3  23280  pjthlem1  23400  lhop1lem  23967  ftc1lem4  23993  plyeq0lem  24157  aalioulem4  24281  mtest  24349  radcnvlem1  24358  radcnvlt1  24363  radcnvle  24365  dvradcnv  24366  pserdvlem2  24373  abelth2  24387  tanabsge  24449  sineq0  24464  divlogrlim  24572  logcnlem3  24581  logcnlem4  24582  logtayllem  24596  logtayl  24597  abscxp2  24630  chordthmlem4  24753  rlimcnp  24883  lgamgulmlem2  24947  lgamgulmlem5  24950  lgamcvg2  24972  ftalem5  24994  lgsval2lem  25223  lgsval4a  25235  2sqlem3  25336  chebbnd1  25352  chtppilimlem2  25354  chto1ub  25356  vmadivsum  25362  vmadivsumb  25363  rpvmasumlem  25367  dchrisumlem2  25370  dchrisumlem3  25371  dchrvmasumlem2  25378  dchrvmasumiflem1  25381  dchrisum0fno1  25391  dchrisum0re  25393  rplogsum  25407  mulog2sumlem1  25414  mulog2sumlem2  25415  2vmadivsumlem  25420  selbergb  25429  selberg2lem  25430  selberg2b  25432  selberg3lem1  25437  selberg3lem2  25438  selberg4lem1  25440  pntrsumo1  25445  pntrlog2bndlem1  25457  pntrlog2bndlem2  25458  pntrlog2bndlem3  25459  pntrlog2bndlem5  25461  pntrlog2bndlem6  25463  pntrlog2bnd  25464  pntpbnd1a  25465  pntpbnd1  25466  pntibndlem2  25471  ostth2  25517  htthlem  28075  bcsiALT  28337  norm1  28407  pjhthlem1  28551  nmbdoplbi  29184  nmcexi  29186  nmcopexi  29187  nmcoplbi  29188  nmbdfnlbi  29209  nmcfnexi  29211  nmcfnlbi  29212  cnlnadjlem7  29233  nmopcoi  29255  nmopcoadji  29261  branmfn  29265  strlem1  29410  subfaclim  31469  dnizphlfeqhlf  32764  dnibndlem6  32771  dnibndlem9  32774  knoppndvlem11  32811  knoppndvlem14  32814  poimirlem29  33743  ftc1cnnclem  33788  ftc1anclem5  33794  lmclim2  33859  geomcau  33860  cntotbnd  33900  irrapxlem2  37881  irrapxlem5  37884  pellexlem2  37888  oddcomabszz  38003  jm2.19  38054  jm2.26lem3  38062  absmulrposd  38951  nzprmdif  39012  0ellimcdiv  40376  stoweidlem7  40719  fourierdlem30  40849  fourierdlem39  40858  etransclem23  40969  etransclem41  40987  hoiqssbllem2  41335  blenre  42870  blennn  42871
  Copyright terms: Public domain W3C validator