MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absge0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absge0d 14382
Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
absge0d (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absge0d
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 absge0 14226 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
31, 2syl 17 1 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2139   class class class wbr 4804  cfv 6049  cc 10126  0cc0 10128  cle 10267  abscabs 14173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  14455  mulcn2  14525  o1mul  14544  o1rlimmul  14548  o1fsum  14744  cvgcmpce  14749  explecnv  14796  cvgrat  14814  mertenslem1  14815  mertenslem2  14816  efcllem  15007  eftlub  15038  sqnprm  15616  gzrngunitlem  20013  blcvx  22802  cnheibor  22955  cphsqrtcl2  23186  ipcau2  23233  trirn  23383  rrxdstprj1  23392  mbfi1fseqlem6  23686  iblabs  23794  iblabsr  23795  iblmulc2  23796  itgabs  23800  bddmulibl  23804  itgcn  23808  dvlip  23955  dvlipcn  23956  dveq0  23962  dv11cn  23963  plyeq0lem  24165  aalioulem3  24288  mtest  24357  radcnvlem1  24366  radcnvlem2  24367  radcnvlt1  24371  dvradcnv  24374  pserulm  24375  psercnlem2  24377  psercnlem1  24378  pserdvlem1  24380  pserdv  24382  abelthlem5  24388  abelthlem7  24391  abelthlem8  24392  tanregt0  24484  efif1olem3  24489  argregt0  24555  argrege0  24556  logtayllem  24604  logtayl  24605  abscxpbnd  24693  heron  24764  efrlim  24895  rlimcxp  24899  lgamgulmlem2  24955  lgamgulmlem3  24956  lgamgulmlem5  24958  lgamcvg2  24980  ftalem1  24998  ftalem4  25001  ftalem5  25002  lgsdirprm  25255  lgsdilem2  25257  lgsne0  25259  2sqblem  25355  dchrisumlem2  25378  dchrmusum2  25382  dchrvmasumlem2  25386  dchrvmasumlem3  25387  dchrvmasumiflem1  25389  dchrisum0flblem1  25396  dchrisum0lem2a  25405  mudivsum  25418  mulogsumlem  25419  mulog2sumlem2  25423  selberglem2  25434  selberg3lem2  25446  pntrsumbnd  25454  pntrlog2bndlem1  25465  pntrlog2bndlem2  25466  pntrlog2bndlem3  25467  pntrlog2bndlem5  25469  pntrlog2bndlem6  25471  pntrlog2bnd  25472  pntleml  25499  smcnlem  27861  nmoub3i  27937  nmfnge0  29095  sqsscirc2  30264  dnibndlem11  32784  knoppcnlem4  32792  unblimceq0lem  32803  unblimceq0  32804  knoppndvlem11  32819  knoppndvlem18  32826  mblfinlem2  33760  iblabsnc  33787  iblmulc2nc  33788  itgabsnc  33792  bddiblnc  33793  ftc1anclem2  33799  ftc1anclem4  33801  ftc1anclem5  33802  ftc1anclem6  33803  ftc1anclem7  33804  ftc1anclem8  33805  ftc1anc  33806  ftc2nc  33807  dvasin  33809  areacirclem1  33813  areacirclem2  33814  areacirclem4  33816  areacirclem5  33817  areacirc  33818  cntotbnd  33908  rrndstprj1  33942  rrndstprj2  33943  ismrer1  33950  pell14qrgt0  37925  radcnvrat  39015  dvconstbi  39035  binomcxplemnotnn0  39057  abslt2sqd  40074  dvdivbd  40641  dvbdfbdioolem1  40646  dvbdfbdioolem2  40647  ioodvbdlimc1lem1  40649  ioodvbdlimc1lem2  40650  ioodvbdlimc2lem  40652  fourierdlem30  40857  fourierdlem39  40866  fourierdlem47  40873  fourierdlem73  40899  fourierdlem77  40903  fourierdlem87  40913  etransclem23  40977  rrndistlt  41013  smfmullem1  41504  smfmullem2  41505  smfmullem3  41506
  Copyright terms: Public domain W3C validator