Theorem absf 14121

Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by NM, 30-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
absf	⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Proof of Theorem absf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abs 14020	. 2 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2		absval 14022	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) = (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
3		abscl 14062	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrrd 2731	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ ℝ)
5	1, 4	fmpti 6423	1 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2030  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973   · cmul 9979  ∗ccj 13880  √csqrt 14017  abscabs 14018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020

This theorem is referenced by:  lo1o1  14307  lo1o12  14308  abscn2  14373  climabs  14378  rlimabs  14383  cnfldds  19804  cnfldfun  19806  cnfldfunALT  19807  absabv  19851  cnmet  22622  cnbl0  22624  cnblcld  22625  cnfldms  22626  cnfldnm  22629  abscncf  22751  cnfldcusp  23199  ovolfsf  23286  ovolctb  23304  iblabslem  23639  iblabs  23640  bddmulibl  23650  dvlip2  23803  c1liplem1  23804  pserulm  24221  psercn2  24222  psercnlem2  24223  psercnlem1  24224  psercn  24225  pserdvlem1  24226  pserdvlem2  24227  pserdv  24228  pserdv2  24229  abelth  24240  efif1olem3  24335  efif1olem4  24336  efifo  24338  eff1olem  24339  logcn  24438  efopnlem1  24447  logtayl  24451  cnnv  27660  cnnvg  27661  cnnvs  27663  cnnvnm  27664  cncph  27802  mblfinlem2  33577  ftc1anclem1  33615  ftc1anclem2  33616  ftc1anclem3  33617  ftc1anclem4  33618  ftc1anclem5  33619  ftc1anclem6  33620  ftc1anclem7  33621  ftc1anclem8  33622  ftc1anc  33623  extoimad  38781  imo72b2lem0  38782  imo72b2lem2  38784  imo72b2lem1  38788  imo72b2  38792  sblpnf  38826  binomcxplemdvbinom  38869  binomcxplemcvg  38870  binomcxplemdvsum  38871  binomcxplemnotnn0  38872  absfun  39879  cncficcgt0  40419  fourierdlem42  40684  hoicvr  41083  ovolval2lem  41178  ovolval3  41182