Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absexp 14088
 Description: Absolute value of positive integer exponentiation. (Contributed by NM, 5-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
absexp ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem absexp
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6698 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → (𝐴𝑗) = (𝐴↑0))
21fveq2d 6233 . . . . 5 (𝑗 = 0 → (abs‘(𝐴𝑗)) = (abs‘(𝐴↑0)))
3 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((abs‘𝐴)↑𝑗) = ((abs‘𝐴)↑0))
42, 3eqeq12d 2666 . . . 4 (𝑗 = 0 → ((abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗) ↔ (abs‘(𝐴↑0)) = ((abs‘𝐴)↑0)))
54imbi2d 329 . . 3 (𝑗 = 0 → ((𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴↑0)) = ((abs‘𝐴)↑0))))
6 oveq2 6698 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
76fveq2d 6233 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (abs‘(𝐴𝑗)) = (abs‘(𝐴𝑘)))
8 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((abs‘𝐴)↑𝑗) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
97, 8eqeq12d 2666 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗) ↔ (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
109imbi2d 329 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))))
11 oveq2 6698 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
1211fveq2d 6233 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (abs‘(𝐴𝑗)) = (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))))
13 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((abs‘𝐴)↑𝑗) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
1412, 13eqeq12d 2666 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗) ↔ (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1))))
1514imbi2d 329 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
16 oveq2 6698 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑁))
1716fveq2d 6233 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → (abs‘(𝐴𝑗)) = (abs‘(𝐴𝑁)))
18 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((abs‘𝐴)↑𝑗) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))
1917, 18eqeq12d 2666 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → ((abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗) ↔ (abs‘(𝐴𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁)))
2019imbi2d 329 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))))
21 abs1 14081 . . . 4 (abs‘1) = 1
22 exp0 12904 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
2322fveq2d 6233 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴↑0)) = (abs‘1))
24 abscl 14062 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
2524recnd 10106 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
2625exp0d 13042 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑0) = 1)
2721, 23, 263eqtr4a 2711 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴↑0)) = ((abs‘𝐴)↑0))
28 oveq1 6697 . . . . . . . 8 ((abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘) → ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘𝐴)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
2928adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘)) → ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘𝐴)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
30 expp1 12907 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
3130fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐴𝑘) · 𝐴)))
32 expcl 12918 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
33 simpl 472 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
34 absmul 14078 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐴𝑘) · 𝐴)) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘𝐴)))
3532, 33, 34syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴𝑘) · 𝐴)) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘𝐴)))
3631, 35eqtrd 2685 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘𝐴)))
3736adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘)) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘𝐴)))
38 expp1 12907 . . . . . . . . 9 (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
3925, 38sylan 487 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
4039adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘)) → ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
4129, 37, 403eqtr4d 2695 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘)) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
4241exp31 629 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ0 → ((abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
4342com12 32 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
4443a2d 29 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘)) → (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
455, 10, 15, 20, 27, 44nn0ind 11510 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁)))
4645impcom 445 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  ℕ0cn0 11330  ↑cexp 12900  abscabs 14018 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020 This theorem is referenced by:  absexpz  14089  abssq  14090  sqabs  14091  absexpd  14235  expcnv  14640  eftabs  14850  efcllem  14852  efaddlem  14867  iblabsr  23641  iblmulc2  23642  abelthlem7  24237  efif1olem3  24335  efif1olem4  24336  logtayllem  24450  bndatandm  24701  ftalem1  24844  mule1  24919  iblmulc2nc  33605
 Copyright terms: Public domain W3C validator