Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absefi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absefi 15132
 Description: The absolute value of the exponential function of an imaginary number is one. Equation 48 of [Rudin] p. 167. (Contributed by Jason Orendorff, 9-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
absefi (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = 1)

Proof of Theorem absefi
StepHypRef Expression
1 recn 10228 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 efival 15088 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
31, 2syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
43fveq2d 6336 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = (abs‘((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))))
5 recoscl 15077 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
6 resincl 15076 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
7 absreim 14241 . . . 4 (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ) → (abs‘((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = (√‘(((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2))))
85, 6, 7syl2anc 573 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = (√‘(((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2))))
95resqcld 13242 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
109recnd 10270 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
116resqcld 13242 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
1211recnd 10270 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
1310, 12addcomd 10440 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) = (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)))
14 sincossq 15112 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
151, 14syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
1613, 15eqtrd 2805 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) = 1)
1716fveq2d 6336 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (√‘(((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2))) = (√‘1))
18 sqrt1 14220 . . . 4 (√‘1) = 1
1917, 18syl6eq 2821 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (√‘(((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2))) = 1)
208, 19eqtrd 2805 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))) = 1)
214, 20eqtrd 2805 1 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ℂcc 10136  ℝcr 10137  1c1 10139  ici 10140   + caddc 10141   · cmul 10143  2c2 11272  ↑cexp 13067  √csqrt 14181  abscabs 14182  expce 14998  sincsin 15000  cosccos 15001 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-ico 12386  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-ef 15004  df-sin 15006  df-cos 15007 This theorem is referenced by:  absef  15133  efieq1re  15135  pige3  24490  efif1olem4  24512  efifo  24514
 Copyright terms: Public domain W3C validator