Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abs3lemi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abs3lemi 14356
 Description: Lemma involving absolute value of differences. (Contributed by NM, 2-Oct-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
absvalsqi.1 𝐴 ∈ ℂ
abssub.2 𝐵 ∈ ℂ
abs3dif.3 𝐶 ∈ ℂ
abs3lem.4 𝐷 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
abs3lemi (((abs‘(𝐴𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(𝐶𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (abs‘(𝐴𝐵)) < 𝐷)

Proof of Theorem abs3lemi
StepHypRef Expression
1 absvalsqi.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℂ
2 abssub.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℂ
3 abs3dif.3 . . . 4 𝐶 ∈ ℂ
41, 2, 3abs3difi 14355 . . 3 (abs‘(𝐴𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐶𝐵)))
51, 3subcli 10558 . . . . 5 (𝐴𝐶) ∈ ℂ
65abscli 14341 . . . 4 (abs‘(𝐴𝐶)) ∈ ℝ
73, 2subcli 10558 . . . . 5 (𝐶𝐵) ∈ ℂ
87abscli 14341 . . . 4 (abs‘(𝐶𝐵)) ∈ ℝ
9 abs3lem.4 . . . . 5 𝐷 ∈ ℝ
109rehalfcli 11482 . . . 4 (𝐷 / 2) ∈ ℝ
116, 8, 10, 10lt2addi 10791 . . 3 (((abs‘(𝐴𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(𝐶𝐵)) < (𝐷 / 2)) → ((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐶𝐵))) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
121, 2subcli 10558 . . . . 5 (𝐴𝐵) ∈ ℂ
1312abscli 14341 . . . 4 (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ
146, 8readdcli 10254 . . . 4 ((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐶𝐵))) ∈ ℝ
1510, 10readdcli 10254 . . . 4 ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)) ∈ ℝ
1613, 14, 15lelttri 10365 . . 3 (((abs‘(𝐴𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐶𝐵))) ∧ ((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐶𝐵))) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2))) → (abs‘(𝐴𝐵)) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
174, 11, 16sylancr 567 . 2 (((abs‘(𝐴𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(𝐶𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (abs‘(𝐴𝐵)) < ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)))
1810recni 10253 . . . 4 (𝐷 / 2) ∈ ℂ
19182timesi 11348 . . 3 (2 · (𝐷 / 2)) = ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2))
209recni 10253 . . . 4 𝐷 ∈ ℂ
21 2cn 11292 . . . 4 2 ∈ ℂ
22 2ne0 11314 . . . 4 2 ≠ 0
2320, 21, 22divcan2i 10969 . . 3 (2 · (𝐷 / 2)) = 𝐷
2419, 23eqtr3i 2794 . 2 ((𝐷 / 2) + (𝐷 / 2)) = 𝐷
2517, 24syl6breq 4825 1 (((abs‘(𝐴𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(𝐶𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (abs‘(𝐴𝐵)) < 𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∈ wcel 2144   class class class wbr 4784  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  ℂcc 10135  ℝcr 10136   + caddc 10140   · cmul 10142   < clt 10275   ≤ cle 10276   − cmin 10467   / cdiv 10885  2c2 11271  abscabs 14181 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator