MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abrexfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abrexfi 8433
Description: An image set from a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
abrexfi (𝐴 ∈ Fin → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem abrexfi
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . 3 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
21rnmpt 5526 . 2 ran (𝑥𝐴𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}
3 mptfi 8432 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝑥𝐴𝐵) ∈ Fin)
4 rnfi 8416 . . 3 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ Fin → ran (𝑥𝐴𝐵) ∈ Fin)
53, 4syl 17 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ran (𝑥𝐴𝐵) ∈ Fin)
62, 5syl5eqelr 2844 1 (𝐴 ∈ Fin → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  {cab 2746  wrex 3051  cmpt 4881  ran crn 5267  Fincfn 8123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-fin 8127
This theorem is referenced by:  fimaxre3  11182  mertenslem2  14836  iinopn  20929  cncmp  21417  cmpsublem  21424  ptbasfi  21606  alexsublem  22069  ptcmplem3  22079  prdsbl  22517  aannenlem2  24303  aalioulem2  24307  rencldnfilem  37904
  Copyright terms: Public domain W3C validator