MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfacrplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfacrplem 18510
Description: Lemma for ablfacrp2 18512. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfacrp.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfacrp.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfacrp.k 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
ablfacrp.l 𝐿 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}
ablfacrp.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfacrp.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
ablfacrp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ablfacrp.1 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
ablfacrp.2 (𝜑 → (#‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
Assertion
Ref Expression
ablfacrplem (𝜑 → ((#‘𝐾) gcd 𝑁) = 1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem ablfacrplem
Dummy variables 𝑔 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nprmdvds1 15465 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℙ → ¬ 𝑝 ∥ 1)
21adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ 1)
3 ablfacrp.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
43adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
54breq2d 4697 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ 𝑝 ∥ 1))
62, 5mtbird 314 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁))
7 ablfacrp.k . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
8 ablfacrp.g . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
9 ablfacrp.m . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
109nnzd 11519 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
11 ablfacrp.o . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑂 = (od‘𝐺)
12 ablfacrp.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (Base‘𝐺)
1311, 12oddvdssubg 18304 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
148, 10, 13syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
157, 14syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1615ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺s 𝐾) = (𝐺s 𝐾)
1817subggrp 17644 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺s 𝐾) ∈ Grp)
1916, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → (𝐺s 𝐾) ∈ Grp)
2017subgbas 17645 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 = (Base‘(𝐺s 𝐾)))
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → 𝐾 = (Base‘(𝐺s 𝐾)))
22 ablfacrp.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (#‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
239nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
24 ablfacrp.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2524nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2623, 25nn0mulcld 11394 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
2722, 26eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
28 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝐺) ∈ V
2912, 28eqeltri 2726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 ∈ V
30 hashclb 13187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (#‘𝐵) ∈ ℕ0))
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ Fin ↔ (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
3227, 31sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
33 ssrab2 3720 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ⊆ 𝐵
347, 33eqsstri 3668 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾𝐵
35 ssfi 8221 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐾𝐵) → 𝐾 ∈ Fin)
3632, 34, 35sylancl 695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ Fin)
3736ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Fin)
3821, 37eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → (Base‘(𝐺s 𝐾)) ∈ Fin)
39 simplr 807 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → 𝑝 ∈ ℙ)
40 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → 𝑝 ∥ (#‘𝐾))
4121fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → (#‘𝐾) = (#‘(Base‘(𝐺s 𝐾))))
4240, 41breqtrd 4711 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → 𝑝 ∥ (#‘(Base‘(𝐺s 𝐾))))
43 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘(𝐺s 𝐾)) = (Base‘(𝐺s 𝐾))
44 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (od‘(𝐺s 𝐾)) = (od‘(𝐺s 𝐾))
4543, 44odcau 18065 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺s 𝐾) ∈ Grp ∧ (Base‘(𝐺s 𝐾)) ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘(Base‘(𝐺s 𝐾)))) → ∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝)
4619, 38, 39, 42, 45syl31anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → ∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝)
4721rexeqdv 3175 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → (∃𝑔𝐾 ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝 ↔ ∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝))
4846, 47mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → ∃𝑔𝐾 ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝)
4917, 11, 44subgod 18031 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑔𝐾) → (𝑂𝑔) = ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔))
5016, 49sylan 487 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) ∧ 𝑔𝐾) → (𝑂𝑔) = ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔))
51 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑔 → (𝑂𝑥) = (𝑂𝑔))
5251breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑔 → ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ↔ (𝑂𝑔) ∥ 𝑀))
5352, 7elrab2 3399 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔𝐾 ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝑂𝑔) ∥ 𝑀))
5453simprbi 479 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔𝐾 → (𝑂𝑔) ∥ 𝑀)
5554adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) ∧ 𝑔𝐾) → (𝑂𝑔) ∥ 𝑀)
5650, 55eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) ∧ 𝑔𝐾) → ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) ∥ 𝑀)
57 breq1 4688 . . . . . . . . . . 11 (((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝 → (((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) ∥ 𝑀𝑝𝑀))
5856, 57syl5ibcom 235 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) ∧ 𝑔𝐾) → (((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝𝑝𝑀))
5958rexlimdva 3060 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → (∃𝑔𝐾 ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝𝑝𝑀))
6048, 59mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → 𝑝𝑀)
6160ex 449 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (#‘𝐾) → 𝑝𝑀))
6261anim1d 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (#‘𝐾) ∧ 𝑝𝑁) → (𝑝𝑀𝑝𝑁)))
63 prmz 15436 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
6463adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
65 hashcl 13185 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Fin → (#‘𝐾) ∈ ℕ0)
6636, 65syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘𝐾) ∈ ℕ0)
6766nn0zd 11518 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘𝐾) ∈ ℤ)
6867adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (#‘𝐾) ∈ ℤ)
6924nnzd 11519 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
7069adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
71 dvdsgcdb 15309 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ (#‘𝐾) ∧ 𝑝𝑁) ↔ 𝑝 ∥ ((#‘𝐾) gcd 𝑁)))
7264, 68, 70, 71syl3anc 1366 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (#‘𝐾) ∧ 𝑝𝑁) ↔ 𝑝 ∥ ((#‘𝐾) gcd 𝑁)))
7310adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℤ)
74 dvdsgcdb 15309 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑝𝑀𝑝𝑁) ↔ 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
7564, 73, 70, 74syl3anc 1366 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝑀𝑝𝑁) ↔ 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
7662, 72, 753imtr3d 282 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((#‘𝐾) gcd 𝑁) → 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
776, 76mtod 189 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ ((#‘𝐾) gcd 𝑁))
7877nrexdv 3030 . . 3 (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((#‘𝐾) gcd 𝑁))
79 exprmfct 15463 . . 3 (((#‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((#‘𝐾) gcd 𝑁))
8078, 79nsyl 135 . 2 (𝜑 → ¬ ((#‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ‘2))
8124nnne0d 11103 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ≠ 0)
82 simpr 476 . . . . . . 7 (((#‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
8382necon3ai 2848 . . . . . 6 (𝑁 ≠ 0 → ¬ ((#‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0))
8481, 83syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ((#‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0))
85 gcdn0cl 15271 . . . . 5 ((((#‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ ((#‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((#‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ ℕ)
8667, 69, 84, 85syl21anc 1365 . . . 4 (𝜑 → ((#‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ ℕ)
87 elnn1uz2 11803 . . . 4 (((#‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((#‘𝐾) gcd 𝑁) = 1 ∨ ((#‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ‘2)))
8886, 87sylib 208 . . 3 (𝜑 → (((#‘𝐾) gcd 𝑁) = 1 ∨ ((#‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ‘2)))
8988ord 391 . 2 (𝜑 → (¬ ((#‘𝐾) gcd 𝑁) = 1 → ((#‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ‘2)))
9080, 89mt3d 140 1 (𝜑 → ((#‘𝐾) gcd 𝑁) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231  wss 3607   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  #chash 13157  cdvds 15027   gcd cgcd 15263  cprime 15432  Basecbs 15904  s cress 15905  Grpcgrp 17469  SubGrpcsubg 17635  odcod 17990  Abelcabl 18240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-ec 7789  df-qs 7793  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-pc 15589  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-eqg 17640  df-ga 17769  df-od 17994  df-cmn 18241  df-abl 18242
This theorem is referenced by:  ablfacrp2  18512
  Copyright terms: Public domain W3C validator