MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfacrp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfacrp2 18658
Description: The factors 𝐾, 𝐿 of ablfacrp 18657 have the expected orders (which allows for repeated application to decompose 𝐺 into subgroups of prime-power order). Lemma 6.1C.2 of [Shapiro], p. 199. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfacrp.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfacrp.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfacrp.k 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
ablfacrp.l 𝐿 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}
ablfacrp.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfacrp.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
ablfacrp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ablfacrp.1 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
ablfacrp.2 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
Assertion
Ref Expression
ablfacrp2 (𝜑 → ((♯‘𝐾) = 𝑀 ∧ (♯‘𝐿) = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem ablfacrp2
StepHypRef Expression
1 ablfacrp.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
2 ablfacrp.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
32nnnn0d 11535 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4 ablfacrp.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54nnnn0d 11535 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
63, 5nn0mulcld 11540 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
71, 6eqeltrd 2831 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
8 ablfacrp.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
9 fvex 6354 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) ∈ V
108, 9eqeltri 2827 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
11 hashclb 13333 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
137, 12sylibr 224 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
14 ablfacrp.k . . . . . 6 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
15 ssrab2 3820 . . . . . 6 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ⊆ 𝐵
1614, 15eqsstri 3768 . . . . 5 𝐾𝐵
17 ssfi 8337 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐾𝐵) → 𝐾 ∈ Fin)
1813, 16, 17sylancl 697 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ Fin)
19 hashcl 13331 . . . 4 (𝐾 ∈ Fin → (♯‘𝐾) ∈ ℕ0)
2018, 19syl 17 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℕ0)
21 ablfacrp.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
222nnzd 11665 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
23 ablfacrp.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (od‘𝐺)
2423, 8oddvdssubg 18450 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
2521, 22, 24syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
2614, 25syl5eqel 2835 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
278lagsubg 17849 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝐵))
2826, 13, 27syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝐵))
292nncnd 11220 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
304nncnd 11220 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
3129, 30mulcomd 10245 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀))
321, 31eqtrd 2786 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑁 · 𝑀))
3328, 32breqtrd 4822 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀))
34 ablfacrp.l . . . . 5 𝐿 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}
35 ablfacrp.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
368, 23, 14, 34, 21, 2, 4, 35, 1ablfacrplem 18656 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1)
3720nn0zd 11664 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℤ)
384nnzd 11665 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
39 coprmdvds 15560 . . . . 5 (((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((♯‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀) ∧ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1) → (♯‘𝐾) ∥ 𝑀))
4037, 38, 22, 39syl3anc 1473 . . . 4 (𝜑 → (((♯‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀) ∧ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1) → (♯‘𝐾) ∥ 𝑀))
4133, 36, 40mp2and 717 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ 𝑀)
4223, 8oddvdssubg 18450 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
4321, 38, 42syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
4434, 43syl5eqel 2835 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺))
458lagsubg 17849 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐿) ∥ (♯‘𝐵))
4644, 13, 45syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐿) ∥ (♯‘𝐵))
4746, 1breqtrd 4822 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁))
48 gcdcom 15429 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
4922, 38, 48syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
5049, 35eqtr3d 2788 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = 1)
518, 23, 34, 14, 21, 4, 2, 50, 32ablfacrplem 18656 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝐿) gcd 𝑀) = 1)
52 ssrab2 3820 . . . . . . . . . . . 12 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ⊆ 𝐵
5334, 52eqsstri 3768 . . . . . . . . . . 11 𝐿𝐵
54 ssfi 8337 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐿𝐵) → 𝐿 ∈ Fin)
5513, 53, 54sylancl 697 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 ∈ Fin)
56 hashcl 13331 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ Fin → (♯‘𝐿) ∈ ℕ0)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐿) ∈ ℕ0)
5857nn0zd 11664 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐿) ∈ ℤ)
59 coprmdvds 15560 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((♯‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ ((♯‘𝐿) gcd 𝑀) = 1) → (♯‘𝐿) ∥ 𝑁))
6058, 22, 38, 59syl3anc 1473 . . . . . . 7 (𝜑 → (((♯‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ ((♯‘𝐿) gcd 𝑀) = 1) → (♯‘𝐿) ∥ 𝑁))
6147, 51, 60mp2and 717 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐿) ∥ 𝑁)
62 dvdscmul 15202 . . . . . . 7 (((♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐿) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
6358, 38, 22, 62syl3anc 1473 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘𝐿) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
6461, 63mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
65 eqid 2752 . . . . . . . . . 10 (0g𝐺) = (0g𝐺)
66 eqid 2752 . . . . . . . . . 10 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
678, 23, 14, 34, 21, 2, 4, 35, 1, 65, 66ablfacrp 18657 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐾𝐿) = {(0g𝐺)} ∧ (𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿) = 𝐵))
6867simprd 482 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿) = 𝐵)
6968fveq2d 6348 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿)) = (♯‘𝐵))
70 eqid 2752 . . . . . . . 8 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
7167simpld 477 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾𝐿) = {(0g𝐺)})
7270, 21, 26, 44ablcntzd 18452 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘𝐿))
7366, 65, 70, 26, 44, 71, 72, 18, 55lsmhash 18310 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿)) = ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
7469, 73eqtr3d 2788 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐵) = ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
7574, 1eqtr3d 2788 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) = (𝑀 · 𝑁))
7664, 75breqtrrd 4824 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
7765subg0cl 17795 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝐿)
78 ne0i 4056 . . . . . . . 8 ((0g𝐺) ∈ 𝐿𝐿 ≠ ∅)
7944, 77, 783syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ≠ ∅)
80 hashnncl 13341 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ Fin → ((♯‘𝐿) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ≠ ∅))
8155, 80syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝐿) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ≠ ∅))
8279, 81mpbird 247 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐿) ∈ ℕ)
8382nnne0d 11249 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐿) ≠ 0)
84 dvdsmulcr 15205 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐿) ≠ 0)) → ((𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑀 ∥ (♯‘𝐾)))
8522, 37, 58, 83, 84syl112anc 1477 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑀 ∥ (♯‘𝐾)))
8676, 85mpbid 222 . . 3 (𝜑𝑀 ∥ (♯‘𝐾))
87 dvdseq 15230 . . 3 ((((♯‘𝐾) ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝐾) ∥ 𝑀𝑀 ∥ (♯‘𝐾))) → (♯‘𝐾) = 𝑀)
8820, 3, 41, 86, 87syl22anc 1474 . 2 (𝜑 → (♯‘𝐾) = 𝑀)
89 dvdsmulc 15203 . . . . . . 7 (((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐾) ∥ 𝑀 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
9037, 22, 38, 89syl3anc 1473 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘𝐾) ∥ 𝑀 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
9141, 90mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁))
9291, 75breqtrrd 4824 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
9388, 2eqeltrd 2831 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℕ)
9493nnne0d 11249 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐾) ≠ 0)
95 dvdscmulr 15204 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ≠ 0)) → (((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑁 ∥ (♯‘𝐿)))
9638, 58, 37, 94, 95syl112anc 1477 . . . 4 (𝜑 → (((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑁 ∥ (♯‘𝐿)))
9792, 96mpbid 222 . . 3 (𝜑𝑁 ∥ (♯‘𝐿))
98 dvdseq 15230 . . 3 ((((♯‘𝐿) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝐿) ∥ 𝑁𝑁 ∥ (♯‘𝐿))) → (♯‘𝐿) = 𝑁)
9957, 5, 61, 97, 98syl22anc 1474 . 2 (𝜑 → (♯‘𝐿) = 𝑁)
10088, 99jca 555 1 (𝜑 → ((♯‘𝐾) = 𝑀 ∧ (♯‘𝐿) = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  {crab 3046  Vcvv 3332  cin 3706  wss 3707  c0 4050  {csn 4313   class class class wbr 4796  cfv 6041  (class class class)co 6805  Fincfn 8113  0cc0 10120  1c1 10121   · cmul 10125  cn 11204  0cn0 11476  cz 11561  chash 13303  cdvds 15174   gcd cgcd 15410  Basecbs 16051  0gc0g 16294  SubGrpcsubg 17781  Cntzccntz 17940  odcod 18136  LSSumclsm 18241  Abelcabl 18386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-disj 4765  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-omul 7726  df-er 7903  df-ec 7905  df-qs 7909  df-map 8017  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-acn 8950  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-xnn0 11548  df-z 11562  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-mod 12855  df-seq 12988  df-exp 13047  df-fac 13247  df-bc 13276  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-clim 14410  df-sum 14608  df-dvds 15175  df-gcd 15411  df-prm 15580  df-pc 15736  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-0g 16296  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-grp 17618  df-minusg 17619  df-sbg 17620  df-mulg 17734  df-subg 17784  df-eqg 17786  df-ga 17915  df-cntz 17942  df-od 18140  df-lsm 18243  df-pj1 18244  df-cmn 18387  df-abl 18388
This theorem is referenced by:  ablfac1a  18660
  Copyright terms: Public domain W3C validator