MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfac1lem 18659
Description: Lemma for ablfac1b 18661. Satisfy the assumptions of ablfacrp. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac1.s 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
ablfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfac1.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
ablfac1.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
ablfac1.m 𝑀 = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))
ablfac1.n 𝑁 = ((♯‘𝐵) / 𝑀)
Assertion
Ref Expression
ablfac1lem ((𝜑𝑃𝐴) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝐵   𝜑,𝑝,𝑥   𝐴,𝑝,𝑥   𝑂,𝑝,𝑥   𝑃,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑝)   𝑀(𝑥,𝑝)   𝑁(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem ablfac1lem
StepHypRef Expression
1 ablfac1.m . . . 4 𝑀 = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))
2 ablfac1.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
32sselda 3736 . . . . . 6 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ ℙ)
4 prmnn 15582 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
53, 4syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ ℕ)
6 ablfac1.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
7 ablgrp 18390 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
8 ablfac1.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝐺)
98grpbn0 17644 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
106, 7, 93syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
11 ablfac1.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
12 hashnncl 13341 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ Fin → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
1410, 13mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
1514adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑃𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
163, 15pccld 15749 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
175, 16nnexpcld 13216 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ)
181, 17syl5eqel 2835 . . 3 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑀 ∈ ℕ)
19 ablfac1.n . . . 4 𝑁 = ((♯‘𝐵) / 𝑀)
20 pcdvds 15762 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵))
213, 15, 20syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵))
221, 21syl5eqbr 4831 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑀 ∥ (♯‘𝐵))
23 nndivdvds 15183 . . . . . 6 (((♯‘𝐵) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝐵) / 𝑀) ∈ ℕ))
2415, 18, 23syl2anc 696 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑀 ∥ (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝐵) / 𝑀) ∈ ℕ))
2522, 24mpbid 222 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → ((♯‘𝐵) / 𝑀) ∈ ℕ)
2619, 25syl5eqel 2835 . . 3 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ)
2718, 26jca 555 . 2 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
281oveq1i 6815 . . 3 (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd 𝑁)
29 pcndvds2 15766 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → ¬ 𝑃 ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))))
303, 15, 29syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑃𝐴) → ¬ 𝑃 ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))))
311oveq2i 6816 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐵) / 𝑀) = ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
3219, 31eqtri 2774 . . . . . . 7 𝑁 = ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
3332breq2i 4804 . . . . . 6 (𝑃𝑁𝑃 ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))))
3430, 33sylnibr 318 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝐴) → ¬ 𝑃𝑁)
3526nnzd 11665 . . . . . 6 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
36 coprm 15617 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑁 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
373, 35, 36syl2anc 696 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝐴) → (¬ 𝑃𝑁 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
3834, 37mpbid 222 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑃 gcd 𝑁) = 1)
39 prmz 15583 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
403, 39syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ ℤ)
41 rpexp1i 15627 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd 𝑁) = 1))
4240, 35, 16, 41syl3anc 1473 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd 𝑁) = 1))
4338, 42mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑃𝐴) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd 𝑁) = 1)
4428, 43syl5eq 2798 . 2 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
4519oveq2i 6816 . . 3 (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · ((♯‘𝐵) / 𝑀))
4615nncnd 11220 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
4718nncnd 11220 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑀 ∈ ℂ)
4818nnne0d 11249 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑀 ≠ 0)
4946, 47, 48divcan2d 10987 . . 3 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑀 · ((♯‘𝐵) / 𝑀)) = (♯‘𝐵))
5045, 49syl5req 2799 . 2 ((𝜑𝑃𝐴) → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
5127, 44, 503jca 1122 1 ((𝜑𝑃𝐴) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  {crab 3046  wss 3707  c0 4050   class class class wbr 4796  cmpt 4873  cfv 6041  (class class class)co 6805  Fincfn 8113  1c1 10121   · cmul 10125   / cdiv 10868  cn 11204  0cn0 11476  cz 11561  cexp 13046  chash 13303  cdvds 15174   gcd cgcd 15410  cprime 15579   pCnt cpc 15735  Basecbs 16051  Grpcgrp 17615  odcod 18136  Abelcabl 18386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8505  df-inf 8506  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-fz 12512  df-fl 12779  df-mod 12855  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-dvds 15175  df-gcd 15411  df-prm 15580  df-pc 15736  df-0g 16296  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-grp 17618  df-abl 18388
This theorem is referenced by:  ablfac1a  18660  ablfac1b  18661
  Copyright terms: Public domain W3C validator