Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfac1lem 18659
 Description: Lemma for ablfac1b 18661. Satisfy the assumptions of ablfacrp. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac1.s 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
ablfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfac1.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
ablfac1.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
ablfac1.m 𝑀 = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))
ablfac1.n 𝑁 = ((♯‘𝐵) / 𝑀)
Assertion
Ref Expression
ablfac1lem ((𝜑𝑃𝐴) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝐵   𝜑,𝑝,𝑥   𝐴,𝑝,𝑥   𝑂,𝑝,𝑥   𝑃,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑝)   𝑀(𝑥,𝑝)   𝑁(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem ablfac1lem
StepHypRef Expression
1 ablfac1.m . . . 4 𝑀 = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))
2 ablfac1.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
32sselda 3736 . . . . . 6 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ ℙ)
4 prmnn 15582 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
53, 4syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ ℕ)
6 ablfac1.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
7 ablgrp 18390 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
8 ablfac1.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝐺)
98grpbn0 17644 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
106, 7, 93syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
11 ablfac1.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
12 hashnncl 13341 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ Fin → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
1410, 13mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
1514adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑃𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
163, 15pccld 15749 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
175, 16nnexpcld 13216 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ)
181, 17syl5eqel 2835 . . 3 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑀 ∈ ℕ)
19 ablfac1.n . . . 4 𝑁 = ((♯‘𝐵) / 𝑀)
20 pcdvds 15762 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵))
213, 15, 20syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘𝐵))
221, 21syl5eqbr 4831 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑀 ∥ (♯‘𝐵))
23 nndivdvds 15183 . . . . . 6 (((♯‘𝐵) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝐵) / 𝑀) ∈ ℕ))
2415, 18, 23syl2anc 696 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑀 ∥ (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝐵) / 𝑀) ∈ ℕ))
2522, 24mpbid 222 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → ((♯‘𝐵) / 𝑀) ∈ ℕ)
2619, 25syl5eqel 2835 . . 3 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ)
2718, 26jca 555 . 2 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
281oveq1i 6815 . . 3 (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd 𝑁)
29 pcndvds2 15766 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → ¬ 𝑃 ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))))
303, 15, 29syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑃𝐴) → ¬ 𝑃 ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))))
311oveq2i 6816 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐵) / 𝑀) = ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
3219, 31eqtri 2774 . . . . . . 7 𝑁 = ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
3332breq2i 4804 . . . . . 6 (𝑃𝑁𝑃 ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))))
3430, 33sylnibr 318 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝐴) → ¬ 𝑃𝑁)
3526nnzd 11665 . . . . . 6 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
36 coprm 15617 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑁 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
373, 35, 36syl2anc 696 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝐴) → (¬ 𝑃𝑁 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
3834, 37mpbid 222 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑃 gcd 𝑁) = 1)
39 prmz 15583 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
403, 39syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ ℤ)
41 rpexp1i 15627 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd 𝑁) = 1))
4240, 35, 16, 41syl3anc 1473 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd 𝑁) = 1))
4338, 42mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑃𝐴) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd 𝑁) = 1)
4428, 43syl5eq 2798 . 2 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
4519oveq2i 6816 . . 3 (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · ((♯‘𝐵) / 𝑀))
4615nncnd 11220 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
4718nncnd 11220 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑀 ∈ ℂ)
4818nnne0d 11249 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑀 ≠ 0)
4946, 47, 48divcan2d 10987 . . 3 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑀 · ((♯‘𝐵) / 𝑀)) = (♯‘𝐵))
5045, 49syl5req 2799 . 2 ((𝜑𝑃𝐴) → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
5127, 44, 503jca 1122 1 ((𝜑𝑃𝐴) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1624   ∈ wcel 2131   ≠ wne 2924  {crab 3046   ⊆ wss 3707  ∅c0 4050   class class class wbr 4796   ↦ cmpt 4873  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805  Fincfn 8113  1c1 10121   · cmul 10125   / cdiv 10868  ℕcn 11204  ℕ0cn0 11476  ℤcz 11561  ↑cexp 13046  ♯chash 13303   ∥ cdvds 15174   gcd cgcd 15410  ℙcprime 15579   pCnt cpc 15735  Basecbs 16051  Grpcgrp 17615  odcod 18136  Abelcabl 18386 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8505  df-inf 8506  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-fz 12512  df-fl 12779  df-mod 12855  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-dvds 15175  df-gcd 15411  df-prm 15580  df-pc 15736  df-0g 16296  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-grp 17618  df-abl 18388 This theorem is referenced by:  ablfac1a  18660  ablfac1b  18661
 Copyright terms: Public domain W3C validator