MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfac1c 18668
Description: The factors of ablfac1b 18667 cover the entire group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac1.s 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
ablfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfac1.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
ablfac1.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
ablfac1c.d 𝐷 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)}
ablfac1.2 (𝜑𝐷𝐴)
Assertion
Ref Expression
ablfac1c (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑤,𝑝,𝑥,𝐵   𝐷,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑤,𝑥   𝐴,𝑝,𝑥   𝑂,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤)   𝐷(𝑤)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑝)   𝐺(𝑤)   𝑂(𝑤)

Proof of Theorem ablfac1c
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfac1.f . 2 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
2 ablfac1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
32dprdssv 18613 . . 3 (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵
43a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵)
5 ssfi 8343 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ Fin)
61, 3, 5sylancl 697 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ Fin)
7 hashcl 13337 . . . . 5 ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ Fin → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℕ0)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℕ0)
9 hashcl 13337 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
101, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
11 ablfac1.o . . . . . . 7 𝑂 = (od‘𝐺)
12 ablfac1.s . . . . . . 7 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
13 ablfac1.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
14 ablfac1.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
152, 11, 12, 13, 1, 14ablfac1b 18667 . . . . . 6 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
16 dprdsubg 18621 . . . . . 6 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1715, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
182lagsubg 17855 . . . . 5 (((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∥ (♯‘𝐵))
1917, 1, 18syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∥ (♯‘𝐵))
20 breq1 4805 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑞 → (𝑤 ∥ (♯‘𝐵) ↔ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
21 ablfac1c.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (♯‘𝐵)}
2220, 21elrab2 3505 . . . . . . . . . 10 (𝑞𝐷 ↔ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
23 ablfac1.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷𝐴)
2423sseld 3741 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑞𝐷𝑞𝐴))
2522, 24syl5bir 233 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑞𝐴))
2625impl 651 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)) → 𝑞𝐴)
272, 11, 12, 13, 1, 14ablfac1a 18666 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑆𝑞)) = (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))))
28 fvex 6360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Base‘𝐺) ∈ V
292, 28eqeltri 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐵 ∈ V
3029rabex 4962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ∈ V
3130, 12dmmpti 6182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom 𝑆 = 𝐴
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐴)
3315, 32dprdf2 18604 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
3433ffvelrnda 6520 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺))
3515adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐺dom DProd 𝑆)
3631a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → dom 𝑆 = 𝐴)
37 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑞𝐴)
3835, 36, 37dprdub 18622 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑆𝑞) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
3917adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
40 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)) = (𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))
4140subsubg 17816 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))) ↔ ((𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑆𝑞) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))))
4239, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))) ↔ ((𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑆𝑞) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))))
4334, 38, 42mpbir2and 995 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))))
4440subgbas 17797 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 DProd 𝑆) = (Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))))
4539, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd 𝑆) = (Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))))
466adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ Fin)
4745, 46eqeltrrd 2838 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → (Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))) ∈ Fin)
48 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))) = (Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)))
4948lagsubg 17855 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))) ∧ (Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆))) ∈ Fin) → (♯‘(𝑆𝑞)) ∥ (♯‘(Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)))))
5043, 47, 49syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑆𝑞)) ∥ (♯‘(Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)))))
5145fveq2d 6354 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) = (♯‘(Base‘(𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)))))
5250, 51breqtrrd 4830 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝑆𝑞)) ∥ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)))
5327, 52eqbrtrrd 4826 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)))
5414sselda 3742 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑞 ∈ ℙ)
558nn0zd 11670 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℤ)
5655adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℤ)
57 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℙ)
58 ablgrp 18396 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
592grpbn0 17650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
6013, 58, 593syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
61 hashnncl 13347 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ Fin → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
621, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
6360, 62mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
6463adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
6557, 64pccld 15755 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
6654, 65syldan 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
67 pcdvdsb 15773 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℤ ∧ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0) → ((𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))) ↔ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
6854, 56, 66, 67syl3anc 1477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))) ↔ (𝑞↑(𝑞 pCnt (♯‘𝐵))) ∥ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
6953, 68mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
7069adantlr 753 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝐴) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
7126, 70syldan 488 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
72 pceq0 15775 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → ((𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
7357, 64, 72syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)))
7473biimpar 503 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) = 0)
75 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g𝐺) = (0g𝐺)
7675subg0cl 17801 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
77 ne0i 4062 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd 𝑆) → (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅)
7817, 76, 773syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅)
79 hashnncl 13347 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ Fin → ((♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℕ ↔ (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅))
806, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℕ ↔ (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅))
8178, 80mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℕ)
8281adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℕ)
8357, 82pccld 15755 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))) ∈ ℕ0)
8483nn0ge0d 11544 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
8584adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)) → 0 ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
8674, 85eqbrtrd 4824 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑞 ∥ (♯‘𝐵)) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
8771, 86pm2.61dan 867 . . . . . 6 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
8887ralrimiva 3102 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆))))
8910nn0zd 11670 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
90 pc2dvds 15783 . . . . . 6 (((♯‘𝐵) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐵) ∥ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)))))
9189, 55, 90syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐵) ∥ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (♯‘𝐵)) ≤ (𝑞 pCnt (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)))))
9288, 91mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∥ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)))
93 dvdseq 15236 . . . 4 ((((♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) ∥ (♯‘𝐵) ∧ (♯‘𝐵) ∥ (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)))) → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) = (♯‘𝐵))
948, 10, 19, 92, 93syl22anc 1478 . . 3 (𝜑 → (♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) = (♯‘𝐵))
95 hashen 13327 . . . 4 (((𝐺 DProd 𝑆) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) = (♯‘𝐵) ↔ (𝐺 DProd 𝑆) ≈ 𝐵))
966, 1, 95syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → ((♯‘(𝐺 DProd 𝑆)) = (♯‘𝐵) ↔ (𝐺 DProd 𝑆) ≈ 𝐵))
9794, 96mpbid 222 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ≈ 𝐵)
98 fisseneq 8334 . 2 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ≈ 𝐵) → (𝐺 DProd 𝑆) = 𝐵)
991, 4, 97, 98syl3anc 1477 1 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1630  wcel 2137  wne 2930  wral 3048  {crab 3052  Vcvv 3338  wss 3713  c0 4056   class class class wbr 4802  cmpt 4879  dom cdm 5264  cfv 6047  (class class class)co 6811  cen 8116  Fincfn 8119  0cc0 10126  cle 10265  cn 11210  0cn0 11482  cz 11567  cexp 13052  chash 13309  cdvds 15180  cprime 15585   pCnt cpc 15741  Basecbs 16057  s cress 16058  0gc0g 16300  Grpcgrp 17621  SubGrpcsubg 17787  odcod 18142  Abelcabl 18392   DProd cdprd 18590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-inf2 8709  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-iin 4673  df-disj 4771  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-se 5224  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-isom 6056  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-of 7060  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-supp 7462  df-tpos 7519  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-2o 7728  df-oadd 7731  df-omul 7732  df-er 7909  df-ec 7911  df-qs 7915  df-map 8023  df-ixp 8073  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-fsupp 8439  df-sup 8511  df-inf 8512  df-oi 8578  df-card 8953  df-acn 8956  df-cda 9180  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-n0 11483  df-xnn0 11554  df-z 11568  df-uz 11878  df-q 11980  df-rp 12024  df-fz 12518  df-fzo 12658  df-fl 12785  df-mod 12861  df-seq 12994  df-exp 13053  df-fac 13253  df-bc 13282  df-hash 13310  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-clim 14416  df-sum 14614  df-dvds 15181  df-gcd 15417  df-prm 15586  df-pc 15742  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-0g 16302  df-gsum 16303  df-mre 16446  df-mrc 16447  df-acs 16449  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-mhm 17534  df-submnd 17535  df-grp 17624  df-minusg 17625  df-sbg 17626  df-mulg 17740  df-subg 17790  df-eqg 17792  df-ghm 17857  df-gim 17900  df-ga 17921  df-cntz 17948  df-oppg 17974  df-od 18146  df-lsm 18249  df-pj1 18250  df-cmn 18393  df-abl 18394  df-dprd 18592
This theorem is referenced by:  ablfaclem2  18683
  Copyright terms: Public domain W3C validator