MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfac1a 18688
Description: The factors of ablfac1b 18689 are of prime power order. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac1.s 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
ablfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfac1.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
ablfac1.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
Assertion
Ref Expression
ablfac1a ((𝜑𝑃𝐴) → (♯‘(𝑆𝑃)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝐵   𝜑,𝑝,𝑥   𝐴,𝑝,𝑥   𝑂,𝑝,𝑥   𝑃,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem ablfac1a
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃𝑝 = 𝑃)
2 oveq1 6821 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 pCnt (♯‘𝐵)) = (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))
31, 2oveq12d 6832 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
43breq2d 4816 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ↔ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))))
54rabbidv 3329 . . . . 5 (𝑝 = 𝑃 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))})
6 ablfac1.s . . . . 5 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
7 ablfac1.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
8 fvex 6363 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) ∈ V
97, 8eqeltri 2835 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
109rabex 4964 . . . . 5 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ∈ V
115, 6, 10fvmpt3i 6450 . . . 4 (𝑃𝐴 → (𝑆𝑃) = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))})
1211adantl 473 . . 3 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑆𝑃) = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))})
1312fveq2d 6357 . 2 ((𝜑𝑃𝐴) → (♯‘(𝑆𝑃)) = (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))}))
14 ablfac1.o . . . 4 𝑂 = (od‘𝐺)
15 eqid 2760 . . . 4 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))} = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))}
16 eqid 2760 . . . 4 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))} = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))}
17 ablfac1.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
1817adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝐺 ∈ Abel)
19 ablfac1.f . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
20 ablfac1.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
21 eqid 2760 . . . . . . 7 (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))
22 eqid 2760 . . . . . . 7 ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))) = ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
237, 14, 6, 17, 19, 20, 21, 22ablfac1lem 18687 . . . . . 6 ((𝜑𝑃𝐴) → (((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℕ) ∧ ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))) = 1 ∧ (♯‘𝐵) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) · ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))))))
2423simp1d 1137 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝐴) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℕ))
2524simpld 477 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ)
2624simprd 482 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℕ)
2723simp2d 1138 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))) = 1)
2823simp3d 1139 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → (♯‘𝐵) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) · ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))))
297, 14, 15, 16, 18, 25, 26, 27, 28ablfacrp2 18686 . . 3 ((𝜑𝑃𝐴) → ((♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))}) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) ∧ (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))}) = ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))))
3029simpld 477 . 2 ((𝜑𝑃𝐴) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))}) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
3113, 30eqtrd 2794 1 ((𝜑𝑃𝐴) → (♯‘(𝑆𝑃)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  {crab 3054  Vcvv 3340  wss 3715   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6814  Fincfn 8123  1c1 10149   · cmul 10153   / cdiv 10896  cn 11232  cexp 13074  chash 13331  cdvds 15202   gcd cgcd 15438  cprime 15607   pCnt cpc 15763  Basecbs 16079  odcod 18164  Abelcabl 18414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-omul 7735  df-er 7913  df-ec 7915  df-qs 7919  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-acn 8978  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-fac 13275  df-bc 13304  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-sum 14636  df-dvds 15203  df-gcd 15439  df-prm 15608  df-pc 15764  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-mulg 17762  df-subg 17812  df-eqg 17814  df-ga 17943  df-cntz 17970  df-od 18168  df-lsm 18271  df-pj1 18272  df-cmn 18415  df-abl 18416
This theorem is referenced by:  ablfac1c  18690  ablfac1eu  18692  ablfaclem3  18706
  Copyright terms: Public domain W3C validator