Theorem ablcntzd 18481

Description: All subgroups in an abelian group commute. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablcntzd.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
ablcntzd.a	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablcntzd.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
ablcntzd.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
ablcntzd	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))

Proof of Theorem ablcntzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablcntzd.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	2	subgss 17817	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
5		ablcntzd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
6		ablcmn 18420	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
8		ablcntzd.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9	2	subgss 17817	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
11		ablcntzd.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
12	2, 11	cntzcmn 18466	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘𝑈) = (Base‘𝐺))
13	7, 10, 12	syl2anc 696	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘𝑈) = (Base‘𝐺))
14	4, 13	sseqtr4d 3784	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2140   ⊆ wss 3716  ‘cfv 6050  Basecbs 16080  SubGrpcsubg 17810  Cntzccntz 17969  CMndccmn 18414  Abelcabl 18415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-ov 6818  df-subg 17813  df-cntz 17971  df-cmn 18416  df-abl 18417

This theorem is referenced by:  lsmsubg2  18483  ablfacrp2  18687  ablfac1b  18690  pgpfaclem1  18701  pgpfaclem2  18702  pj1lmhm  19323  pj1lmhm2  19324  lvecindp  19361  lvecindp2  19362  pjdm2  20278  pjf2  20281  pjfo  20282  lshpsmreu  34918  lshpkrlem5  34923