MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablcntzd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablcntzd 18481
Description: All subgroups in an abelian group commute. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablcntzd.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
ablcntzd.a (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablcntzd.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
ablcntzd.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
ablcntzd (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))

Proof of Theorem ablcntzd
StepHypRef Expression
1 ablcntzd.t . . 3 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 eqid 2761 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
32subgss 17817 . . 3 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
41, 3syl 17 . 2 (𝜑𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
5 ablcntzd.a . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
6 ablcmn 18420 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
8 ablcntzd.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
92subgss 17817 . . . 4 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
11 ablcntzd.z . . . 4 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
122, 11cntzcmn 18466 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍𝑈) = (Base‘𝐺))
137, 10, 12syl2anc 696 . 2 (𝜑 → (𝑍𝑈) = (Base‘𝐺))
144, 13sseqtr4d 3784 1 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2140  wss 3716  cfv 6050  Basecbs 16080  SubGrpcsubg 17810  Cntzccntz 17969  CMndccmn 18414  Abelcabl 18415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-ov 6818  df-subg 17813  df-cntz 17971  df-cmn 18416  df-abl 18417
This theorem is referenced by:  lsmsubg2  18483  ablfacrp2  18687  ablfac1b  18690  pgpfaclem1  18701  pgpfaclem2  18702  pj1lmhm  19323  pj1lmhm2  19324  lvecindp  19361  lvecindp2  19362  pjdm2  20278  pjf2  20281  pjfo  20282  lshpsmreu  34918  lshpkrlem5  34923
  Copyright terms: Public domain W3C validator