MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abelthlem6 24235
Description: Lemma for abelth 24240. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
abelth.6 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))
abelth.7 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
abelthlem6.1 (𝜑𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {1}))
Assertion
Ref Expression
abelthlem6 (𝜑 → (𝐹𝑋) = ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑧,𝑀   𝑛,𝑋,𝑥,𝑧   𝐴,𝑛,𝑥,𝑧   𝜑,𝑛,𝑥   𝑆,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝐹(𝑥,𝑧,𝑛)

Proof of Theorem abelthlem6
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abelthlem6.1 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑆 ∖ {1}))
21eldifad 3619 . . 3 (𝜑𝑋𝑆)
3 oveq1 6697 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝑛) = (𝑋𝑛))
43oveq2d 6706 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))
54sumeq2sdv 14479 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))
6 abelth.6 . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))
7 sumex 14462 . . . 4 Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)) ∈ V
85, 6, 7fvmpt 6321 . . 3 (𝑋𝑆 → (𝐹𝑋) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))
92, 8syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑋) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))
10 nn0uz 11760 . . 3 0 = (ℤ‘0)
11 0zd 11427 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
12 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑛))
13 oveq2 6698 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (𝑋𝑘) = (𝑋𝑛))
1412, 13oveq12d 6708 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)) = ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))
15 eqid 2651 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))
16 ovex 6718 . . . . 5 ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)) ∈ V
1714, 15, 16fvmpt 6321 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))
1817adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)))
19 abelth.1 . . . . 5 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2019ffvelrnda 6399 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑛) ∈ ℂ)
21 abelth.5 . . . . . . 7 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
22 ssrab2 3720 . . . . . . 7 {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))} ⊆ ℂ
2321, 22eqsstri 3668 . . . . . 6 𝑆 ⊆ ℂ
2423, 2sseldi 3634 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
25 expcl 12918 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑛) ∈ ℂ)
2624, 25sylan 487 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑛) ∈ ℂ)
2720, 26mulcld 10098 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)) ∈ ℂ)
28 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (seq0( + , 𝐴)‘𝑘) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑛))
2928, 13oveq12d 6708 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))
30 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))
31 ovex 6718 . . . . . . . 8 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) ∈ V
3229, 30, 31fvmpt 6321 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))
3332adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))
3410, 11, 20serf 12869 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq0( + , 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
3534ffvelrnda 6399 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑛) ∈ ℂ)
3635, 26mulcld 10098 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) ∈ ℂ)
37 abelth.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
38 abelth.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
39 abelth.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
4019, 37, 38, 39, 21abelthlem2 24231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
4140simprd 478 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
4241, 1sseldd 3637 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
43 abelth.7 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
4419, 37, 38, 39, 21, 6, 43abelthlem5 24234 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
4542, 44mpdan 703 . . . . . 6 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
4610, 11, 33, 36, 45isumclim2 14533 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) ⇝ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))
47 seqex 12843 . . . . . 6 seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ V
4847a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ V)
49 0nn0 11345 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
5049a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
51 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 − 1) = (𝑖 − 1))
5251oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(𝑖 − 1)))
5352sumeq1d 14475 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴𝑚))
54 oveq2 6698 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → (𝑋𝑘) = (𝑋𝑖))
5553, 54oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑖)))
56 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))
57 ovex 6718 . . . . . . . . . 10 𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑖)) ∈ V
5855, 56, 57fvmpt 6321 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑖)))
5958adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑖)))
60 fzfid 12812 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (0...(𝑖 − 1)) ∈ Fin)
6119adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
62 elfznn0 12471 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
63 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑚) ∈ ℂ)
6461, 62, 63syl2an 493 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))) → (𝐴𝑚) ∈ ℂ)
6560, 64fsumcl 14508 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴𝑚) ∈ ℂ)
66 expcl 12918 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑖) ∈ ℂ)
6724, 66sylan 487 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑖) ∈ ℂ)
6865, 67mulcld 10098 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑖 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑖)) ∈ ℂ)
6959, 68eqeltrd 2730 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
7011peano2zd 11523 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℤ)
71 nnuz 11761 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
72 1e0p1 11590 . . . . . . . . . . . . 13 1 = (0 + 1)
7372fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ‘1) = (ℤ‘(0 + 1))
7471, 73eqtri 2673 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘(0 + 1))
7574eleq2i 2722 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
76 nnm1nn0 11372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
7776adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
78 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝑛 − 1) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑘) = (seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)))
79 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝑛 − 1) → (𝑋𝑘) = (𝑋↑(𝑛 − 1)))
8078, 79oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑛 − 1) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)) = ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))))
8180oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑛 − 1) → (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
82 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))
83 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))) ∈ V
8481, 82, 83fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘(𝑛 − 1)) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
8577, 84syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘(𝑛 − 1)) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
86 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
87 nncn 11066 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
8887adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
89 nn0ex 11336 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
9089mptex 6527 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ V
9190shftval 13858 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) shift 1)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘(𝑛 − 1)))
9286, 88, 91sylancr 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) shift 1)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘(𝑛 − 1)))
93 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))) → (𝐴𝑚) = (𝐴𝑚))
9477, 10syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 − 1) ∈ (ℤ‘0))
9519adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
96 elfznn0 12471 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
9795, 96, 63syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))) → (𝐴𝑚) ∈ ℂ)
9893, 94, 97fsumser 14505 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) = (seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)))
99 expm1t 12928 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋𝑛) = ((𝑋↑(𝑛 − 1)) · 𝑋))
10024, 99sylan 487 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋𝑛) = ((𝑋↑(𝑛 − 1)) · 𝑋))
10124adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℂ)
102 expcl 12918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑋↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
10324, 76, 102syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
104101, 103mulcomd 10099 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋 · (𝑋↑(𝑛 − 1))) = ((𝑋↑(𝑛 − 1)) · 𝑋))
105100, 104eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋𝑛) = (𝑋 · (𝑋↑(𝑛 − 1))))
10698, 105oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛)) = ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋 · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
107 nnnn0 11337 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
108107adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
109 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 − 1) = (𝑛 − 1))
110109oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑛 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(𝑛 − 1)))
111110sumeq1d 14475 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑛 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚))
112111, 13oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛)))
113 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛)) ∈ V
114112, 56, 113fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛)))
115108, 114syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛)))
116 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . . . . 14 ((seq0( + , 𝐴):ℕ0⟶ℂ ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
11734, 76, 116syl2an 493 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
118101, 117, 103mul12d 10283 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))) = ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋 · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
119106, 115, 1183eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘(𝑛 − 1)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))))
12085, 92, 1193eqtr4d 2695 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) shift 1)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛))
12175, 120sylan2br 492 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(0 + 1))) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) shift 1)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛))
12270, 121seqfeq 12866 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq(0 + 1)( + , ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) shift 1)) = seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))))
123 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑖 → (seq0( + , 𝐴)‘𝑘) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑖))
124123, 54oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)))
125 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . 13 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)) ∈ V
126124, 30, 125fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)))
127126adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)))
12834ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
129128, 67mulcld 10098 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)) ∈ ℂ)
130127, 129eqeltrd 2730 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
131124oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))))
132 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))) ∈ V
133131, 82, 132fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘𝑖) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))))
134133adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘𝑖) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))))
135127oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑋 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖)) = (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))))
136134, 135eqtr4d 2688 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘𝑖) = (𝑋 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖)))
13710, 11, 24, 46, 130, 136isermulc2 14432 . . . . . . . . 9 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
138 0z 11426 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
139 1z 11445 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
14090isershft 14438 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ↔ seq(0 + 1)( + , ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) shift 1)) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))))
141138, 139, 140mp2an 708 . . . . . . . . 9 (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ↔ seq(0 + 1)( + , ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) shift 1)) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
142137, 141sylib 208 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq(0 + 1)( + , ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) shift 1)) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
143122, 142eqbrtrrd 4709 . . . . . . 7 (𝜑 → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
14410, 50, 69, 143clim2ser2 14430 . . . . . 6 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))) ⇝ ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘0)))
145 seq1 12854 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℤ → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘0))
146138, 145ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘0)
147 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = (0 − 1))
148147oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 0 → (0...(𝑘 − 1)) = (0...(0 − 1)))
149 0re 10078 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ
150 ltm1 10901 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ ℝ → (0 − 1) < 0)
151149, 150ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 − 1) < 0
152 peano2zm 11458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 ∈ ℤ → (0 − 1) ∈ ℤ)
153138, 152ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 − 1) ∈ ℤ
154 fzn 12395 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℤ ∧ (0 − 1) ∈ ℤ) → ((0 − 1) < 0 ↔ (0...(0 − 1)) = ∅))
155138, 153, 154mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 − 1) < 0 ↔ (0...(0 − 1)) = ∅)
156151, 155mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0...(0 − 1)) = ∅
157148, 156syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 0 → (0...(𝑘 − 1)) = ∅)
158157sumeq1d 14475 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 0 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) = Σ𝑚 ∈ ∅ (𝐴𝑚))
159 sum0 14496 . . . . . . . . . . . . . 14 Σ𝑚 ∈ ∅ (𝐴𝑚) = 0
160158, 159syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) = 0)
161 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → (𝑋𝑘) = (𝑋↑0))
162160, 161oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)) = (0 · (𝑋↑0)))
163 ovex 6718 . . . . . . . . . . . 12 (0 · (𝑋↑0)) ∈ V
164162, 56, 163fvmpt 6321 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘0) = (0 · (𝑋↑0)))
16549, 164ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘0) = (0 · (𝑋↑0))
166146, 165eqtri 2673 . . . . . . . . 9 (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘0) = (0 · (𝑋↑0))
167 expcl 12918 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑋↑0) ∈ ℂ)
16824, 49, 167sylancl 695 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋↑0) ∈ ℂ)
169168mul02d 10272 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 · (𝑋↑0)) = 0)
170166, 169syl5eq 2697 . . . . . . . 8 (𝜑 → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘0) = 0)
171170oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘0)) = ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) + 0))
17210, 11, 33, 36, 45isumcl 14536 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) ∈ ℂ)
17324, 172mulcld 10098 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) ∈ ℂ)
174173addid1d 10274 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) + 0) = (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
175171, 174eqtrd 2685 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘0)) = (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
176144, 175breqtrd 4711 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))) ⇝ (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
17710, 11, 130serf 12869 . . . . . 6 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))):ℕ0⟶ℂ)
178177ffvelrnda 6399 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘𝑖) ∈ ℂ)
17910, 11, 69serf 12869 . . . . . 6 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))):ℕ0⟶ℂ)
180179ffvelrnda 6399 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘𝑖) ∈ ℂ)
181 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
182181, 10syl6eleq 2740 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ (ℤ‘0))
183 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝜑)
184 elfznn0 12471 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (0...𝑖) → 𝑛 ∈ ℕ0)
18533, 36eqeltrd 2730 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
186183, 184, 185syl2an 493 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
187114adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛)))
188 fzfid 12812 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (0...(𝑛 − 1)) ∈ Fin)
18919adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
190189, 96, 63syl2an 493 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))) → (𝐴𝑚) ∈ ℂ)
191188, 190fsumcl 14508 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) ∈ ℂ)
192191, 26mulcld 10098 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛)) ∈ ℂ)
193187, 192eqeltrd 2730 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
194183, 184, 193syl2an 493 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) ∈ ℂ)
195 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑛)) → (𝐴𝑚) = (𝐴𝑚))
196 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
197196, 10syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ (ℤ‘0))
198 elfznn0 12471 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (0...𝑛) → 𝑚 ∈ ℕ0)
199189, 198, 63syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑛)) → (𝐴𝑚) ∈ ℂ)
200195, 197, 199fsumser 14505 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)(𝐴𝑚) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑛))
201 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑛 → (𝐴𝑚) = (𝐴𝑛))
202197, 199, 201fsumm1 14524 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ (0...𝑛)(𝐴𝑚) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) + (𝐴𝑛)))
203200, 202eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑛) = (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) + (𝐴𝑛)))
204203oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚)) = ((Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) + (𝐴𝑛)) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚)))
205191, 20pncan2d 10432 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) + (𝐴𝑛)) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚)) = (𝐴𝑛))
206204, 205eqtr2d 2686 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑛) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚)))
207206oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)) = (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚)) · (𝑋𝑛)))
20835, 191, 26subdird 10525 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) − Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚)) · (𝑋𝑛)) = (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) − (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛))))
209207, 208eqtrd 2685 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)) = (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) − (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛))))
21033, 187oveq12d 6708 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) − ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛)) = (((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) − (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑛 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑛))))
211209, 18, 2103eqtr4d 2695 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) − ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛)))
212183, 184, 211syl2an 493 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑛) − ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘)))‘𝑛)))
213182, 186, 194, 212sersub 12884 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘))))‘𝑖) = ((seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))))‘𝑖) − (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑚 ∈ (0...(𝑘 − 1))(𝐴𝑚) · (𝑋𝑘))))‘𝑖)))
21410, 11, 46, 48, 176, 178, 180, 213climsub 14408 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))) ⇝ (Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))))
215 1cnd 10094 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
216215, 24, 172subdird 10525 . . . . 5 (𝜑 → ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) = ((1 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))))
217172mulid2d 10096 . . . . . 6 (𝜑 → (1 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))
218217oveq1d 6705 . . . . 5 (𝜑 → ((1 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))) = (Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))))
219216, 218eqtrd 2685 . . . 4 (𝜑 → ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)) − (𝑋 · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛)))))
220214, 219breqtrrd 4713 . . 3 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))) ⇝ ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
22110, 11, 18, 27, 220isumclim 14532 . 2 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑋𝑛)) = ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
2229, 221eqtrd 2685 1 (𝜑 → (𝐹𝑋) = ((1 − 𝑋) · Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑛) · (𝑋𝑛))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  {crab 2945  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607  c0 3948  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  ccom 5147  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  ...cfz 12364  seqcseq 12841  cexp 12900   shift cshi 13850  abscabs 14018  cli 14259  Σcsu 14460  ballcbl 19781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789
This theorem is referenced by:  abelthlem7  24237
  Copyright terms: Public domain W3C validator