MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aannenlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aannenlem3 24023
Description: The algebraic numbers are countable. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
aannenlem.a 𝐻 = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ ℂ ∣ ∃𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (Poly‘ℤ) ∣ (𝑑 ≠ 0𝑝 ∧ (deg‘𝑑) ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑒 ∈ ℕ0 (abs‘((coeff‘𝑑)‘𝑒)) ≤ 𝑎)} (𝑐𝑏) = 0})
Assertion
Ref Expression
aannenlem3 𝔸 ≈ ℕ
Distinct variable group:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑒,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem aannenlem3
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aannenlem.a . . . . . 6 𝐻 = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ ℂ ∣ ∃𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (Poly‘ℤ) ∣ (𝑑 ≠ 0𝑝 ∧ (deg‘𝑑) ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑒 ∈ ℕ0 (abs‘((coeff‘𝑑)‘𝑒)) ≤ 𝑎)} (𝑐𝑏) = 0})
21aannenlem2 24022 . . . . 5 𝔸 = ran 𝐻
3 omelon 8503 . . . . . . . . . 10 ω ∈ On
4 nn0ennn 12734 . . . . . . . . . . . 12 0 ≈ ℕ
5 nnenom 12735 . . . . . . . . . . . 12 ℕ ≈ ω
64, 5entri 7970 . . . . . . . . . . 11 0 ≈ ω
76ensymi 7966 . . . . . . . . . 10 ω ≈ ℕ0
8 isnumi 8732 . . . . . . . . . 10 ((ω ∈ On ∧ ω ≈ ℕ0) → ℕ0 ∈ dom card)
93, 7, 8mp2an 707 . . . . . . . . 9 0 ∈ dom card
10 cnex 9977 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ∈ V
1110rabex 4783 . . . . . . . . . . 11 {𝑏 ∈ ℂ ∣ ∃𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (Poly‘ℤ) ∣ (𝑑 ≠ 0𝑝 ∧ (deg‘𝑑) ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑒 ∈ ℕ0 (abs‘((coeff‘𝑑)‘𝑒)) ≤ 𝑎)} (𝑐𝑏) = 0} ∈ V
1211, 1fnmpti 5989 . . . . . . . . . 10 𝐻 Fn ℕ0
13 dffn4 6088 . . . . . . . . . 10 (𝐻 Fn ℕ0𝐻:ℕ0onto→ran 𝐻)
1412, 13mpbi 220 . . . . . . . . 9 𝐻:ℕ0onto→ran 𝐻
15 fodomnum 8840 . . . . . . . . 9 (ℕ0 ∈ dom card → (𝐻:ℕ0onto→ran 𝐻 → ran 𝐻 ≼ ℕ0))
169, 14, 15mp2 9 . . . . . . . 8 ran 𝐻 ≼ ℕ0
17 domentr 7975 . . . . . . . 8 ((ran 𝐻 ≼ ℕ0 ∧ ℕ0 ≈ ω) → ran 𝐻 ≼ ω)
1816, 6, 17mp2an 707 . . . . . . 7 ran 𝐻 ≼ ω
1918a1i 11 . . . . . 6 (𝑓 Or ℂ → ran 𝐻 ≼ ω)
20 fvelrnb 6210 . . . . . . . . . 10 (𝐻 Fn ℕ0 → (𝑓 ∈ ran 𝐻 ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ0 (𝐻𝑔) = 𝑓))
2112, 20ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ ran 𝐻 ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ0 (𝐻𝑔) = 𝑓)
221aannenlem1 24021 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 ∈ ℕ0 → (𝐻𝑔) ∈ Fin)
23 eleq1 2686 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻𝑔) = 𝑓 → ((𝐻𝑔) ∈ Fin ↔ 𝑓 ∈ Fin))
2422, 23syl5ibcom 235 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ ℕ0 → ((𝐻𝑔) = 𝑓𝑓 ∈ Fin))
2524rexlimiv 3022 . . . . . . . . 9 (∃𝑔 ∈ ℕ0 (𝐻𝑔) = 𝑓𝑓 ∈ Fin)
2621, 25sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ran 𝐻𝑓 ∈ Fin)
2726ssriv 3592 . . . . . . 7 ran 𝐻 ⊆ Fin
2827a1i 11 . . . . . 6 (𝑓 Or ℂ → ran 𝐻 ⊆ Fin)
29 aasscn 24011 . . . . . . . 8 𝔸 ⊆ ℂ
302, 29eqsstr3i 3621 . . . . . . 7 ran 𝐻 ⊆ ℂ
31 soss 5023 . . . . . . 7 ( ran 𝐻 ⊆ ℂ → (𝑓 Or ℂ → 𝑓 Or ran 𝐻))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑓 Or ℂ → 𝑓 Or ran 𝐻)
33 iunfictbso 8897 . . . . . 6 ((ran 𝐻 ≼ ω ∧ ran 𝐻 ⊆ Fin ∧ 𝑓 Or ran 𝐻) → ran 𝐻 ≼ ω)
3419, 28, 32, 33syl3anc 1323 . . . . 5 (𝑓 Or ℂ → ran 𝐻 ≼ ω)
352, 34syl5eqbr 4658 . . . 4 (𝑓 Or ℂ → 𝔸 ≼ ω)
36 cnso 14920 . . . 4 𝑓 𝑓 Or ℂ
3735, 36exlimiiv 1856 . . 3 𝔸 ≼ ω
385ensymi 7966 . . 3 ω ≈ ℕ
39 domentr 7975 . . 3 ((𝔸 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝔸 ≼ ℕ)
4037, 38, 39mp2an 707 . 2 𝔸 ≼ ℕ
4110, 29ssexi 4773 . . 3 𝔸 ∈ V
42 nnssq 11757 . . . 4 ℕ ⊆ ℚ
43 qssaa 24017 . . . 4 ℚ ⊆ 𝔸
4442, 43sstri 3597 . . 3 ℕ ⊆ 𝔸
45 ssdomg 7961 . . 3 (𝔸 ∈ V → (ℕ ⊆ 𝔸 → ℕ ≼ 𝔸))
4641, 44, 45mp2 9 . 2 ℕ ≼ 𝔸
47 sbth 8040 . 2 ((𝔸 ≼ ℕ ∧ ℕ ≼ 𝔸) → 𝔸 ≈ ℕ)
4840, 46, 47mp2an 707 1 𝔸 ≈ ℕ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2908  wrex 2909  {crab 2912  Vcvv 3190  wss 3560   cuni 4409   class class class wbr 4623  cmpt 4683   Or wor 5004  dom cdm 5084  ran crn 5085  Oncon0 5692   Fn wfn 5852  ontowfo 5855  cfv 5857  ωcom 7027  cen 7912  cdom 7913  Fincfn 7915  cardccrd 8721  cc 9894  0cc0 9896  cle 10035  cn 10980  0cn0 11252  cz 11337  cq 11748  abscabs 13924  0𝑝c0p 23376  Polycply 23878  coeffccoe 23880  degcdgr 23881  𝔸caa 24007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-omul 7525  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-acn 8728  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-mod 12625  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-limsup 14152  df-clim 14169  df-rlim 14170  df-sum 14367  df-0p 23377  df-ply 23882  df-idp 23883  df-coe 23884  df-dgr 23885  df-quot 23984  df-aa 24008
This theorem is referenced by:  aannen  24024
  Copyright terms: Public domain W3C validator