Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aannenlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aannenlem3 24023
 Description: The algebraic numbers are countable. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
aannenlem.a 𝐻 = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ ℂ ∣ ∃𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (Poly‘ℤ) ∣ (𝑑 ≠ 0𝑝 ∧ (deg‘𝑑) ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑒 ∈ ℕ0 (abs‘((coeff‘𝑑)‘𝑒)) ≤ 𝑎)} (𝑐𝑏) = 0})
Assertion
Ref Expression
aannenlem3 𝔸 ≈ ℕ
Distinct variable group:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑒,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem aannenlem3
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aannenlem.a . . . . . 6 𝐻 = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ ℂ ∣ ∃𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (Poly‘ℤ) ∣ (𝑑 ≠ 0𝑝 ∧ (deg‘𝑑) ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑒 ∈ ℕ0 (abs‘((coeff‘𝑑)‘𝑒)) ≤ 𝑎)} (𝑐𝑏) = 0})
21aannenlem2 24022 . . . . 5 𝔸 = ran 𝐻
3 omelon 8503 . . . . . . . . . 10 ω ∈ On
4 nn0ennn 12734 . . . . . . . . . . . 12 0 ≈ ℕ
5 nnenom 12735 . . . . . . . . . . . 12 ℕ ≈ ω
64, 5entri 7970 . . . . . . . . . . 11 0 ≈ ω
76ensymi 7966 . . . . . . . . . 10 ω ≈ ℕ0
8 isnumi 8732 . . . . . . . . . 10 ((ω ∈ On ∧ ω ≈ ℕ0) → ℕ0 ∈ dom card)
93, 7, 8mp2an 707 . . . . . . . . 9 0 ∈ dom card
10 cnex 9977 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ∈ V
1110rabex 4783 . . . . . . . . . . 11 {𝑏 ∈ ℂ ∣ ∃𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (Poly‘ℤ) ∣ (𝑑 ≠ 0𝑝 ∧ (deg‘𝑑) ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑒 ∈ ℕ0 (abs‘((coeff‘𝑑)‘𝑒)) ≤ 𝑎)} (𝑐𝑏) = 0} ∈ V
1211, 1fnmpti 5989 . . . . . . . . . 10 𝐻 Fn ℕ0
13 dffn4 6088 . . . . . . . . . 10 (𝐻 Fn ℕ0𝐻:ℕ0onto→ran 𝐻)
1412, 13mpbi 220 . . . . . . . . 9 𝐻:ℕ0onto→ran 𝐻
15 fodomnum 8840 . . . . . . . . 9 (ℕ0 ∈ dom card → (𝐻:ℕ0onto→ran 𝐻 → ran 𝐻 ≼ ℕ0))
169, 14, 15mp2 9 . . . . . . . 8 ran 𝐻 ≼ ℕ0
17 domentr 7975 . . . . . . . 8 ((ran 𝐻 ≼ ℕ0 ∧ ℕ0 ≈ ω) → ran 𝐻 ≼ ω)
1816, 6, 17mp2an 707 . . . . . . 7 ran 𝐻 ≼ ω
1918a1i 11 . . . . . 6 (𝑓 Or ℂ → ran 𝐻 ≼ ω)
20 fvelrnb 6210 . . . . . . . . . 10 (𝐻 Fn ℕ0 → (𝑓 ∈ ran 𝐻 ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ0 (𝐻𝑔) = 𝑓))
2112, 20ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ ran 𝐻 ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ0 (𝐻𝑔) = 𝑓)
221aannenlem1 24021 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 ∈ ℕ0 → (𝐻𝑔) ∈ Fin)
23 eleq1 2686 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻𝑔) = 𝑓 → ((𝐻𝑔) ∈ Fin ↔ 𝑓 ∈ Fin))
2422, 23syl5ibcom 235 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ ℕ0 → ((𝐻𝑔) = 𝑓𝑓 ∈ Fin))
2524rexlimiv 3022 . . . . . . . . 9 (∃𝑔 ∈ ℕ0 (𝐻𝑔) = 𝑓𝑓 ∈ Fin)
2621, 25sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ran 𝐻𝑓 ∈ Fin)
2726ssriv 3592 . . . . . . 7 ran 𝐻 ⊆ Fin
2827a1i 11 . . . . . 6 (𝑓 Or ℂ → ran 𝐻 ⊆ Fin)
29 aasscn 24011 . . . . . . . 8 𝔸 ⊆ ℂ
302, 29eqsstr3i 3621 . . . . . . 7 ran 𝐻 ⊆ ℂ
31 soss 5023 . . . . . . 7 ( ran 𝐻 ⊆ ℂ → (𝑓 Or ℂ → 𝑓 Or ran 𝐻))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑓 Or ℂ → 𝑓 Or ran 𝐻)
33 iunfictbso 8897 . . . . . 6 ((ran 𝐻 ≼ ω ∧ ran 𝐻 ⊆ Fin ∧ 𝑓 Or ran 𝐻) → ran 𝐻 ≼ ω)
3419, 28, 32, 33syl3anc 1323 . . . . 5 (𝑓 Or ℂ → ran 𝐻 ≼ ω)
352, 34syl5eqbr 4658 . . . 4 (𝑓 Or ℂ → 𝔸 ≼ ω)
36 cnso 14920 . . . 4 𝑓 𝑓 Or ℂ
3735, 36exlimiiv 1856 . . 3 𝔸 ≼ ω
385ensymi 7966 . . 3 ω ≈ ℕ
39 domentr 7975 . . 3 ((𝔸 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝔸 ≼ ℕ)
4037, 38, 39mp2an 707 . 2 𝔸 ≼ ℕ
4110, 29ssexi 4773 . . 3 𝔸 ∈ V
42 nnssq 11757 . . . 4 ℕ ⊆ ℚ
43 qssaa 24017 . . . 4 ℚ ⊆ 𝔸
4442, 43sstri 3597 . . 3 ℕ ⊆ 𝔸
45 ssdomg 7961 . . 3 (𝔸 ∈ V → (ℕ ⊆ 𝔸 → ℕ ≼ 𝔸))
4641, 44, 45mp2 9 . 2 ℕ ≼ 𝔸
47 sbth 8040 . 2 ((𝔸 ≼ ℕ ∧ ℕ ≼ 𝔸) → 𝔸 ≈ ℕ)
4840, 46, 47mp2an 707 1 𝔸 ≈ ℕ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2908  ∃wrex 2909  {crab 2912  Vcvv 3190   ⊆ wss 3560  ∪ cuni 4409   class class class wbr 4623   ↦ cmpt 4683   Or wor 5004  dom cdm 5084  ran crn 5085  Oncon0 5692   Fn wfn 5852  –onto→wfo 5855  ‘cfv 5857  ωcom 7027   ≈ cen 7912   ≼ cdom 7913  Fincfn 7915  cardccrd 8721  ℂcc 9894  0cc0 9896   ≤ cle 10035  ℕcn 10980  ℕ0cn0 11252  ℤcz 11337  ℚcq 11748  abscabs 13924  0𝑝c0p 23376  Polycply 23878  coeffccoe 23880  degcdgr 23881  𝔸caa 24007 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-omul 7525  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-acn 8728  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-mod 12625  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-limsup 14152  df-clim 14169  df-rlim 14170  df-sum 14367  df-0p 23377  df-ply 23882  df-idp 23883  df-coe 23884  df-dgr 23885  df-quot 23984  df-aa 24008 This theorem is referenced by:  aannen  24024
 Copyright terms: Public domain W3C validator