Theorem aalioulem4 24135

Description: Lemma for aaliou 24138. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aalioulem2.a	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
aalioulem2.b	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
aalioulem2.c	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aalioulem2.d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
aalioulem3.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)

Assertion

Ref	Expression
aalioulem4	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑝,𝑞   𝑥,𝐴,𝑝,𝑞   𝑥,𝐹,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem aalioulem4

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aalioulem2.a	. . 3 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
2		aalioulem2.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
3		aalioulem2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		aalioulem2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		aalioulem3.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)
6	1, 2, 3, 4, 5	aalioulem3 24134	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))))
7		simp2l 1107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝑝 ∈ ℤ)
8		simp2r 1108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝑞 ∈ ℕ)
9		znq 11830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ)
10	7, 8, 9	syl2anc 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ)
11		qre 11831	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
13		simp3r 1110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)
14		oveq2 6698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑝 / 𝑞) → (𝐴 − 𝑎) = (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))
15	14	fveq2d 6233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = (𝑝 / 𝑞) → (abs‘(𝐴 − 𝑎)) = (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
16	15	breq1d 4695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (𝑝 / 𝑞) → ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 ↔ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1))
17		fveq2 6229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (𝑝 / 𝑞) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))
18	17	fveq2d 6233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑝 / 𝑞) → (abs‘(𝐹‘𝑎)) = (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞))))
19	18	oveq2d 6706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = (𝑝 / 𝑞) → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) = (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))))
20	19, 15	breq12d 4698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (𝑝 / 𝑞) → ((𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎)) ↔ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
21	16, 20	imbi12d 333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑝 / 𝑞) → (((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) ↔ ((abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
22	21	rspcv 3336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ → (∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → ((abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
23	22	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1 → (∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
24	12, 13, 23	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
25		simp1r 1106	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
26	8	nnrpd 11908	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝑞 ∈ ℝ+)
27		simp1l 1105	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝜑)
28	27, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
29	28	nnzd 11519	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
30	26, 29	rpexpcld 13072	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑞↑𝑁) ∈ ℝ+)
31	25, 30	rpdivcld 11927	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ+)
32	31	rpred 11910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) ∧ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ)
34	25	rpred 11910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
35	27, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
36		plyf 23999	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
38	12	recnd 10106	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℂ)
39	37, 38	ffvelrnd 6400	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ∈ ℂ)
40	39	abscld 14219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ)
41	34, 40	remulcld 10108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ∈ ℝ)
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) ∧ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ∈ ℝ)
43	27, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
44	43, 12	resubcld 10496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℝ)
45	44	recnd 10106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℂ)
46	45	abscld 14219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ)
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) ∧ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ)
48	25	rpcnd 11912	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
49	30	rpcnd 11912	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑞↑𝑁) ∈ ℂ)
50	30	rpne0d 11915	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑞↑𝑁) ≠ 0)
51	48, 49, 50	divrecd 10842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) = (𝑥 · (1 / (𝑞↑𝑁))))
52	49, 39	absmuld 14237	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (abs‘((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) = ((abs‘(𝑞↑𝑁)) · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))))
53	30	rpred 11910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑞↑𝑁) ∈ ℝ)
54	30	rpge0d 11914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 0 ≤ (𝑞↑𝑁))
55	53, 54	absidd 14205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (abs‘(𝑞↑𝑁)) = (𝑞↑𝑁))
56	55	oveq1d 6705	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((abs‘(𝑞↑𝑁)) · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) = ((𝑞↑𝑁) · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))))
57	52, 56	eqtrd 2685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (abs‘((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) = ((𝑞↑𝑁) · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))))
58	49, 39	mulcomd 10099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) = ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) · (𝑞↑𝑁)))
59	1	oveq2i 6701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑞↑𝑁) = (𝑞↑(deg‘𝐹))
60	59	oveq2i 6701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) · (𝑞↑𝑁)) = ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) · (𝑞↑(deg‘𝐹)))
61	58, 60	syl6eq 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) = ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) · (𝑞↑(deg‘𝐹))))
62	35, 7, 8	aalioulem1 24132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) · (𝑞↑(deg‘𝐹))) ∈ ℤ)
63	61, 62	eqeltrd 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) ∈ ℤ)
64		simp3l 1109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0)
65	49, 39, 50, 64	mulne0d 10717	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) ≠ 0)
66		nnabscl 14109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) ∈ ℤ ∧ ((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) ≠ 0) → (abs‘((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ∈ ℕ)
67	63, 65, 66	syl2anc 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (abs‘((𝑞↑𝑁) · (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ∈ ℕ)
68	57, 67	eqeltrrd 2731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((𝑞↑𝑁) · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ∈ ℕ)
69	68	nnge1d 11101	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 1 ≤ ((𝑞↑𝑁) · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))))
70		1red 10093	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → 1 ∈ ℝ)
71	70, 40, 30	ledivmuld 11963	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((1 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) ↔ 1 ≤ ((𝑞↑𝑁) · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞))))))
72	69, 71	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (1 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞))))
73	30	rprecred 11921	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (1 / (𝑞↑𝑁)) ∈ ℝ)
74	73, 40, 25	lemul2d 11954	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((1 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞))) ↔ (𝑥 · (1 / (𝑞↑𝑁))) ≤ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞))))))
75	72, 74	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑥 · (1 / (𝑞↑𝑁))) ≤ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))))
76	51, 75	eqbrtrd 4707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))))
77	76	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) ∧ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))))
78		simpr 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) ∧ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
79	33, 42, 47, 77, 78	letrd 10232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) ∧ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
80	79	olcd 407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) ∧ (𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
81	80	ex 449	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → ((𝑥 · (abs‘(𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
82	24, 81	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1)) → (∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
83	82	3exp 1283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))))
84	83	com34 91	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))))
85	84	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))))
86	85	ralrimdvv 3002	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
87	86	reximdva 3046	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ ℝ ((abs‘(𝐴 − 𝑎)) ≤ 1 → (𝑥 · (abs‘(𝐹‘𝑎))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑎))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
88	6, 87	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ≤ 1) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   class class class wbr 4685  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   ≤ cle 10113   − cmin 10304   / cdiv 10722  ℕcn 11058  ℤcz 11415  ℚcq 11826  ℝ⁺crp 11870  ↑cexp 12900  abscabs 14018  Polycply 23985  degcdgr 23988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-subrg 18826  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-0p 23482  df-limc 23675  df-dv 23676  df-dvn 23677  df-cpn 23678  df-ply 23989  df-coe 23991  df-dgr 23992

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