Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aalioulem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aalioulem2 24133
 Description: Lemma for aaliou 24138. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 28-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a 𝑁 = (deg‘𝐹)
aalioulem2.b (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
aalioulem2.c (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
aalioulem2.d (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
aalioulem2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑝,𝑞   𝑥,𝐴,𝑝,𝑞   𝑥,𝐹,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem aalioulem2
Dummy variables 𝑟 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 11874 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ+
2 snssi 4371 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ+ → {1} ⊆ ℝ+)
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6 {1} ⊆ ℝ+
4 ssrab2 3720 . . . . . 6 {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))} ⊆ ℝ+
53, 4unssi 3821 . . . . 5 ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ⊆ ℝ+
6 ltso 10156 . . . . . . 7 < Or ℝ
76a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → < Or ℝ)
8 snfi 8079 . . . . . . 7 {1} ∈ Fin
9 aalioulem2.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
10 aalioulem2.c . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1110nnne0d 11103 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ≠ 0)
12 aalioulem2.a . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 = (deg‘𝐹)
1312eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . . 13 (deg‘𝐹) = 𝑁
14 dgr0 24063 . . . . . . . . . . . . 13 (deg‘0𝑝) = 0
1511, 13, 143netr4g 2902 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (deg‘𝐹) ≠ (deg‘0𝑝))
16 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
1716necon3i 2855 . . . . . . . . . . . 12 ((deg‘𝐹) ≠ (deg‘0𝑝) → 𝐹 ≠ 0𝑝)
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ≠ 0𝑝)
19 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 “ {0}) = (𝐹 “ {0})
2019fta1 24108 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → ((𝐹 “ {0}) ∈ Fin ∧ (#‘(𝐹 “ {0})) ≤ (deg‘𝐹)))
219, 18, 20syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹 “ {0}) ∈ Fin ∧ (#‘(𝐹 “ {0})) ≤ (deg‘𝐹)))
2221simpld 474 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 “ {0}) ∈ Fin)
23 abrexfi 8307 . . . . . . . . 9 ((𝐹 “ {0}) ∈ Fin → {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))} ∈ Fin)
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))} ∈ Fin)
25 rabssab 3723 . . . . . . . 8 {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))} ⊆ {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}
26 ssfi 8221 . . . . . . . 8 (({𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))} ⊆ {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) → {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))} ∈ Fin)
2724, 25, 26sylancl 695 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))} ∈ Fin)
28 unfi 8268 . . . . . . 7 (({1} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))} ∈ Fin) → ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ∈ Fin)
298, 27, 28sylancr 696 . . . . . 6 (𝜑 → ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ∈ Fin)
30 1ex 10073 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
3130snid 4241 . . . . . . . 8 1 ∈ {1}
32 elun1 3813 . . . . . . . 8 (1 ∈ {1} → 1 ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}))
33 ne0i 3954 . . . . . . . 8 (1 ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) → ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ≠ ∅)
3431, 32, 33mp2b 10 . . . . . . 7 ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ≠ ∅
3534a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ≠ ∅)
36 rpssre 11881 . . . . . . . 8 + ⊆ ℝ
375, 36sstri 3645 . . . . . . 7 ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ⊆ ℝ
3837a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ⊆ ℝ)
39 fiinfcl 8448 . . . . . 6 (( < Or ℝ ∧ (({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ∈ Fin ∧ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ≠ ∅ ∧ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ⊆ ℝ)) → inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}))
407, 29, 35, 38, 39syl13anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}))
415, 40sseldi 3634 . . . 4 (𝜑 → inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ∈ ℝ+)
4237a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ⊆ ℝ)
43 0re 10078 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
44 rpge0 11883 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑑)
4544rgen 2951 . . . . . . . . . . . 12 𝑑 ∈ ℝ+ 0 ≤ 𝑑
46 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = 0 → (𝑐𝑑 ↔ 0 ≤ 𝑑))
4746ralbidv 3015 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 0 → (∀𝑑 ∈ ℝ+ 𝑐𝑑 ↔ ∀𝑑 ∈ ℝ+ 0 ≤ 𝑑))
4847rspcev 3340 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑑 ∈ ℝ+ 0 ≤ 𝑑) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑑 ∈ ℝ+ 𝑐𝑑)
4943, 45, 48mp2an 708 . . . . . . . . . . 11 𝑐 ∈ ℝ ∀𝑑 ∈ ℝ+ 𝑐𝑑
50 ssralv 3699 . . . . . . . . . . . . 13 (({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ⊆ ℝ+ → (∀𝑑 ∈ ℝ+ 𝑐𝑑 → ∀𝑑 ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))})𝑐𝑑))
515, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑑 ∈ ℝ+ 𝑐𝑑 → ∀𝑑 ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))})𝑐𝑑)
5251reximi 3040 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑑 ∈ ℝ+ 𝑐𝑑 → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑑 ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))})𝑐𝑑)
5349, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 𝑐 ∈ ℝ ∀𝑑 ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))})𝑐𝑑
5453a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑑 ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))})𝑐𝑑)
55 aalioulem2.d . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5655ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → 𝐴 ∈ ℝ)
57 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
5856, 57resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → (𝐴𝑟) ∈ ℝ)
5958recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → (𝐴𝑟) ∈ ℂ)
6055ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑟) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
6160recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑟) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
62 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑟) = 0) → 𝑟 ∈ ℝ)
6362recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑟) = 0) → 𝑟 ∈ ℂ)
6461, 63subeq0ad 10440 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑟) = 0) → ((𝐴𝑟) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑟))
6564necon3abid 2859 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑟) = 0) → ((𝐴𝑟) ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 𝑟))
6665biimprd 238 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑟) = 0) → (¬ 𝐴 = 𝑟 → (𝐴𝑟) ≠ 0))
6766impr 648 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → (𝐴𝑟) ≠ 0)
6859, 67absrpcld 14231 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ℝ+)
6957recnd 10106 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℂ)
70 simprl 809 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → (𝐹𝑟) = 0)
71 plyf 23999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
729, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
73 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:ℂ⟶ℂ → 𝐹 Fn ℂ)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 Fn ℂ)
7574ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → 𝐹 Fn ℂ)
76 fniniseg 6378 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 Fn ℂ → (𝑟 ∈ (𝐹 “ {0}) ↔ (𝑟 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑟) = 0)))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → (𝑟 ∈ (𝐹 “ {0}) ↔ (𝑟 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑟) = 0)))
7869, 70, 77mpbir2and 977 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → 𝑟 ∈ (𝐹 “ {0}))
79 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘(𝐴𝑟)) = (abs‘(𝐴𝑟))
80 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑟 → (𝐴𝑏) = (𝐴𝑟))
8180fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑟 → (abs‘(𝐴𝑏)) = (abs‘(𝐴𝑟)))
8281eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑟 → ((abs‘(𝐴𝑟)) = (abs‘(𝐴𝑏)) ↔ (abs‘(𝐴𝑟)) = (abs‘(𝐴𝑟))))
8382rspcev 3340 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑟 ∈ (𝐹 “ {0}) ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) = (abs‘(𝐴𝑟))) → ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})(abs‘(𝐴𝑟)) = (abs‘(𝐴𝑏)))
8478, 79, 83sylancl 695 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})(abs‘(𝐴𝑟)) = (abs‘(𝐴𝑏)))
85 eqeq1 2655 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (abs‘(𝐴𝑟)) → (𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏)) ↔ (abs‘(𝐴𝑟)) = (abs‘(𝐴𝑏))))
8685rexbidv 3081 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (abs‘(𝐴𝑟)) → (∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})(abs‘(𝐴𝑟)) = (abs‘(𝐴𝑏))))
8786elrab 3396 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘(𝐴𝑟)) ∈ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))} ↔ ((abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ℝ+ ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})(abs‘(𝐴𝑟)) = (abs‘(𝐴𝑏))))
8868, 84, 87sylanbrc 699 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))})
89 elun2 3814 . . . . . . . . . 10 ((abs‘(𝐴𝑟)) ∈ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))} → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}))
9088, 89syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}))
91 infrelb 11046 . . . . . . . . 9 ((({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑑 ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))})𝑐𝑑 ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))})) → inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
9242, 54, 90, 91syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
9392expr 642 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑟) = 0) → (¬ 𝐴 = 𝑟 → inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
9493orrd 392 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑟) = 0) → (𝐴 = 𝑟 ∨ inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
9594ex 449 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟 ∨ inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
9695ralrimiva 2995 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟 ∨ inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
97 breq1 4688 . . . . . . . 8 (𝑥 = inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) → (𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)) ↔ inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
9897orbi2d 738 . . . . . . 7 (𝑥 = inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) → ((𝐴 = 𝑟𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟))) ↔ (𝐴 = 𝑟 ∨ inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
9998imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑥 = inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) → (((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))) ↔ ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟 ∨ inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))))
10099ralbidv 3015 . . . . 5 (𝑥 = inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) → (∀𝑟 ∈ ℝ ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟 ∨ inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))))
101100rspcev 3340 . . . 4 ((inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟 ∨ inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
10241, 96, 101syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
103 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑟 = (𝑝 / 𝑞) → (𝐹𝑟) = (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)))
104103eqeq1d 2653 . . . . . . . 8 (𝑟 = (𝑝 / 𝑞) → ((𝐹𝑟) = 0 ↔ (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0))
105 eqeq2 2662 . . . . . . . . 9 (𝑟 = (𝑝 / 𝑞) → (𝐴 = 𝑟𝐴 = (𝑝 / 𝑞)))
106 oveq2 6698 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (𝑝 / 𝑞) → (𝐴𝑟) = (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))
107106fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = (𝑝 / 𝑞) → (abs‘(𝐴𝑟)) = (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
108107breq2d 4697 . . . . . . . . 9 (𝑟 = (𝑝 / 𝑞) → (𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)) ↔ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
109105, 108orbi12d 746 . . . . . . . 8 (𝑟 = (𝑝 / 𝑞) → ((𝐴 = 𝑟𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟))) ↔ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
110104, 109imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑟 = (𝑝 / 𝑞) → (((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))) ↔ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
111110rspcv 3336 . . . . . 6 ((𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ → (∀𝑟 ∈ ℝ ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))) → ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
112 znq 11830 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ)
113 qre 11831 . . . . . . 7 ((𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
114112, 113syl 17 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
115111, 114syl11 33 . . . . 5 (∀𝑟 ∈ ℝ ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))) → ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
116115ralrimivv 2999 . . . 4 (∀𝑟 ∈ ℝ ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))) → ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
117116reximi 3040 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
118102, 117syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
119 simplr 807 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
120 simprr 811 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℕ)
12110nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
122121ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
123120, 122nnexpcld 13070 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞𝑁) ∈ ℕ)
124123nnrpd 11908 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞𝑁) ∈ ℝ+)
125119, 124rpdivcld 11927 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑥 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ+)
126125rpred 11910 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑥 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ)
127126adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝑥 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ)
128 simpllr 815 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
129128rpred 11910 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
13055ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
131114adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
132130, 131resubcld 10496 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℝ)
133132recnd 10106 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℂ)
134133abscld 14219 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ)
135134adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ)
136 rpre 11877 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
137136ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
138119rpcnne0d 11919 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
139 divid 10752 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥 / 𝑥) = 1)
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑥 / 𝑥) = 1)
141123nnge1d 11101 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 1 ≤ (𝑞𝑁))
142140, 141eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑥 / 𝑥) ≤ (𝑞𝑁))
143137, 119, 124, 142lediv23d 11976 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ 𝑥)
144143adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ 𝑥)
145 simpr 476 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
146127, 129, 135, 144, 145letrd 10232 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
147146ex 449 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) → (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
148147orim2d 903 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
149148imim2d 57 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
150149ralimdvva 2993 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
151150reximdva 3046 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
152118, 151mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {cab 2637   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  {crab 2945   ∪ cun 3605   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  {csn 4210   class class class wbr 4685   Or wor 5063  ◡ccnv 5142   “ cima 5146   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  infcinf 8388  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304   / cdiv 10722  ℕcn 11058  ℕ0cn0 11330  ℤcz 11415  ℚcq 11826  ℝ+crp 11870  ↑cexp 12900  #chash 13157  abscabs 14018  0𝑝c0p 23481  Polycply 23985  degcdgr 23988 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-0p 23482  df-ply 23989  df-idp 23990  df-coe 23991  df-dgr 23992  df-quot 24091 This theorem is referenced by:  aalioulem6  24137
 Copyright terms: Public domain W3C validator