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Theorem aaliou3lem8 24291
Description: Lemma for aaliou3 24297. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ ℕ (2 · (2↑-(!‘(𝑥 + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem aaliou3lem8
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2rp 12022 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
2 rpdivcl 12041 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (2 / 𝐵) ∈ ℝ+)
31, 2mpan 708 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ+ → (2 / 𝐵) ∈ ℝ+)
43rpred 12057 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ+ → (2 / 𝐵) ∈ ℝ)
5 2re 11274 . . . . 5 2 ∈ ℝ
6 1lt2 11378 . . . . 5 1 < 2
7 expnbnd 13179 . . . . 5 (((2 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → ∃𝑎 ∈ ℕ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))
85, 6, 7mp3an23 1557 . . . 4 ((2 / 𝐵) ∈ ℝ → ∃𝑎 ∈ ℕ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))
94, 8syl 17 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ+ → ∃𝑎 ∈ ℕ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))
109adantl 473 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℕ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))
11 simprl 811 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝑎 ∈ ℕ)
12 simpll 807 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝐴 ∈ ℕ)
13 nnaddm1cl 11618 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ)
1411, 12, 13syl2anc 696 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ)
15 simplr 809 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
16 rerpdivcl 12046 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (2 / 𝐵) ∈ ℝ)
175, 15, 16sylancr 698 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 / 𝐵) ∈ ℝ)
1811nnnn0d 11535 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
19 reexpcl 13063 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (2↑𝑎) ∈ ℝ)
205, 18, 19sylancr 698 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑𝑎) ∈ ℝ)
2111, 12nnaddcld 11251 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (𝑎 + 𝐴) ∈ ℕ)
22 nnm1nn0 11518 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 + 𝐴) ∈ ℕ → ((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ0)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ0)
24 peano2nn0 11517 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ0 → (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) ∈ ℕ0)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) ∈ ℕ0)
26 faccl 13256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈ ℕ)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈ ℕ)
2827nnzd 11665 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈ ℤ)
29 faccl 13256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈ ℕ)
3023, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈ ℕ)
3130nnzd 11665 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈ ℤ)
3212nnzd 11665 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝐴 ∈ ℤ)
3331, 32zmulcld 11672 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴) ∈ ℤ)
3428, 33zsubcld 11671 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈ ℤ)
35 rpexpcl 13065 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ+ ∧ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈ ℤ) → (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ+)
361, 34, 35sylancr 698 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ+)
3736rpred 12057 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) ∈ ℝ)
38 simprr 813 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))
3917, 20, 38ltled 10369 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 / 𝐵) ≤ (2↑𝑎))
405a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 2 ∈ ℝ)
41 1le2 11425 . . . . . . . . . . 11 1 ≤ 2
4241a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 1 ≤ 2)
4311nnred 11219 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝑎 ∈ ℝ)
4430nnred 11219 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈ ℝ)
4518nn0ge0d 11538 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 0 ≤ 𝑎)
4630nnge1d 11247 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 1 ≤ (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))
4743, 44, 45, 46lemulge12d 11146 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝑎 ≤ ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝑎))
48 facp1 13251 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) = ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))
4923, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) = ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))
5049oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) = (((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)))
5130nncnd 11220 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈ ℂ)
5225nn0cnd 11537 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) ∈ ℂ)
5312nncnd 11220 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝐴 ∈ ℂ)
5451, 52, 53subdid 10670 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · ((((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) − 𝐴)) = (((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)))
5521nncnd 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (𝑎 + 𝐴) ∈ ℂ)
56 1cnd 10240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 1 ∈ ℂ)
5755, 56npcand 10580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) = (𝑎 + 𝐴))
5857oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) − 𝐴) = ((𝑎 + 𝐴) − 𝐴))
5911nncnd 11220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝑎 ∈ ℂ)
6059, 53pncand 10577 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((𝑎 + 𝐴) − 𝐴) = 𝑎)
6158, 60eqtrd 2786 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) − 𝐴) = 𝑎)
6261oveq2d 6821 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · ((((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1) − 𝐴)) = ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝑎))
6350, 54, 623eqtr2d 2792 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) = ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝑎))
6447, 63breqtrrd 4824 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝑎 ≤ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)))
6511nnzd 11665 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝑎 ∈ ℤ)
66 eluz 11885 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈ ℤ) → (((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈ (ℤ𝑎) ↔ 𝑎 ≤ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))))
6765, 34, 66syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈ (ℤ𝑎) ↔ 𝑎 ≤ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))))
6864, 67mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) ∈ (ℤ𝑎))
6940, 42, 68leexp2ad 13227 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑𝑎) ≤ (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))))
7017, 20, 37, 39, 69letrd 10378 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 / 𝐵) ≤ (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))))
71 rpcnne0 12035 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
721, 71mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
73 expsub 13094 . . . . . . . . . 10 (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈ ℤ ∧ ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴) ∈ ℤ)) → (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) = ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) / (2↑((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))))
7472, 28, 33, 73syl12anc 1471 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) = ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) / (2↑((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))))
75 2cn 11275 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
7675a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 2 ∈ ℂ)
7712nnnn0d 11535 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝐴 ∈ ℕ0)
7830nnnn0d 11535 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈ ℕ0)
7976, 77, 78expmuld 13197 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴)) = ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))
8079oveq2d 6821 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) / (2↑((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))) = ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))
81 rpexpcl 13065 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈ ℤ) → (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) ∈ ℝ+)
821, 28, 81sylancr 698 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) ∈ ℝ+)
8382rpcnd 12059 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) ∈ ℂ)
84 rpexpcl 13065 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) ∈ ℤ) → (2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1))) ∈ ℝ+)
851, 31, 84sylancr 698 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1))) ∈ ℝ+)
8685, 32rpexpcld 13218 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴) ∈ ℝ+)
8786rpcnd 12059 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴) ∈ ℂ)
8886rpne0d 12062 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴) ≠ 0)
8983, 87, 88divrecd 10988 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)) = ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))
9074, 80, 893eqtrrd 2791 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) = (2↑((!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) − ((!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)) · 𝐴))))
9170, 90breqtrrd 4824 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 / 𝐵) ≤ ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))
9286rpreccld 12067 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)) ∈ ℝ+)
9382, 92rpmulcld 12073 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ∈ ℝ+)
9493rpred 12057 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ∈ ℝ)
9540, 94, 15ledivmuld 12110 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2 / 𝐵) ≤ ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ↔ 2 ≤ (𝐵 · ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))))
9691, 95mpbid 222 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 2 ≤ (𝐵 · ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))))
9715rpcnd 12059 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 𝐵 ∈ ℂ)
9892rpcnd 12059 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)) ∈ ℂ)
9997, 83, 98mul12d 10429 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (𝐵 · ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))) = ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))))
10096, 99breqtrd 4822 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → 2 ≤ ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))))
10115, 92rpmulcld 12073 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ∈ ℝ+)
102101rpred 12057 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ∈ ℝ)
10340, 102, 82ledivmuld 12110 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ((2 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) ≤ (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) ↔ 2 ≤ ((2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) · (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))))
104100, 103mpbird 247 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) ≤ (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))
10527nnnn0d 11535 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈ ℕ0)
106 expneg 13054 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)) ∈ ℕ0) → (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) = (1 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))))
10775, 105, 106sylancr 698 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) = (1 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))))
108107oveq2d 6821 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 · (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) = (2 · (1 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))))))
10982rpne0d 12062 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))) ≠ 0)
11076, 83, 109divrecd 10988 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) = (2 · (1 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))))))
111108, 110eqtr4d 2789 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 · (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) = (2 / (2↑(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))))
11297, 87, 88divrecd 10988 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (𝐵 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)) = (𝐵 · (1 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))
113104, 111, 1123brtr4d 4828 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → (2 · (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))
114 oveq1 6812 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (𝑥 + 1) = (((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))
115114fveq2d 6348 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (!‘(𝑥 + 1)) = (!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))
116115negeqd 10459 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → -(!‘(𝑥 + 1)) = -(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))
117116oveq2d 6821 . . . . . 6 (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (2↑-(!‘(𝑥 + 1))) = (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1))))
118117oveq2d 6821 . . . . 5 (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (2 · (2↑-(!‘(𝑥 + 1)))) = (2 · (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))))
119 fveq2 6344 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (!‘𝑥) = (!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))
120119oveq2d 6821 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (2↑(!‘𝑥)) = (2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1))))
121120oveq1d 6820 . . . . . 6 (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴) = ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))
122121oveq2d 6821 . . . . 5 (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴)) = (𝐵 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴)))
123118, 122breq12d 4809 . . . 4 (𝑥 = ((𝑎 + 𝐴) − 1) → ((2 · (2↑-(!‘(𝑥 + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴)) ↔ (2 · (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))))
124123rspcev 3441 . . 3 ((((𝑎 + 𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(((𝑎 + 𝐴) − 1) + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘((𝑎 + 𝐴) − 1)))↑𝐴))) → ∃𝑥 ∈ ℕ (2 · (2↑-(!‘(𝑥 + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴)))
12514, 113, 124syl2anc 696 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ (2 / 𝐵) < (2↑𝑎))) → ∃𝑥 ∈ ℕ (2 · (2↑-(!‘(𝑥 + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴)))
12610, 125rexlimddv 3165 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ ℕ (2 · (2↑-(!‘(𝑥 + 1)))) ≤ (𝐵 / ((2↑(!‘𝑥))↑𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  wrex 3043   class class class wbr 4796  cfv 6041  (class class class)co 6805  cc 10118  cr 10119  0cc0 10120  1c1 10121   + caddc 10123   · cmul 10125   < clt 10258  cle 10259  cmin 10450  -cneg 10451   / cdiv 10868  cn 11204  2c2 11254  0cn0 11476  cz 11561  cuz 11871  +crp 12017  cexp 13046  !cfa 13246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8505  df-inf 8506  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-rp 12018  df-fl 12779  df-seq 12988  df-exp 13047  df-fac 13247
This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  24296
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